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Comptes Rendus. Mathématique
Analyse sur les groupes de Lie non commutatifs
The Harmonic Oscillator on the Heisenberg Group
[L’oscillateur harmonique sur le groupe de Heisenberg]
Comptes Rendus. Mathématique, Tome 358 (2020) no. 5, pp. 609-614.

Dans cette note, nous présentons une notion d’oscillateur harmonique sur le groupe de Heisenberg H n qui forme l’analogue naturel de l’oscillateur harmonique sur n sous quelques hypothèses raisonnables : l’oscillateur harmonique sur H n devraît être une somme négative de carrés d’opérateurs liée au sous-laplacien sur H n , être essentiellement auto-adjoint avec un spectre purement discret, et les vecteurs propres doivent former une base orthonormée de L 2 (H n ). Cette approche conduit à un opérateur différentiel sur H n qui est déterminé par l’algèbre de Dynin–Folland de Lie (stratifiée). Nous fournissons une expression explicite pour l’opérateur ainsi qu’une estimation asymptotique pour ses valeurs propres.

In this note we present a notion of harmonic oscillator on the Heisenberg group H n which forms the natural analogue of the harmonic oscillator on n under a few reasonable assumptions: the harmonic oscillator on H n should be a negative sum of squares of operators related to the sub-Laplacian on H n , essentially self-adjoint with purely discrete spectrum, and its eigenvectors should be smooth functions and form an orthonormal basis of L 2 (H n ). This approach leads to a differential operator on H n which is determined by the (stratified) Dynin–Folland Lie algebra. We provide an explicit expression for the operator as well as an asymptotic estimate for its eigenvalues.

Reçu le : 2020-02-21
Révisé le : 2020-05-25
Accepté le : 2020-05-25
Publié le : 2020-09-14
DOI : https://doi.org/10.5802/crmath.78
Classification : 35R03,  35P20
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     author = {David Rottensteiner and Michael Ruzhansky},
     title = {The Harmonic Oscillator on the Heisenberg Group},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {609--614},
     publisher = {Acad\'emie des sciences, Paris},
     volume = {358},
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David Rottensteiner; Michael Ruzhansky. The Harmonic Oscillator on the Heisenberg Group. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 358 (2020) no. 5, pp. 609-614. doi : 10.5802/crmath.78. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/item/CRMATH_2020__358_5_609_0/

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