Comptes Rendus
Article de recherche - Équations aux dérivées partielles
Remark on the energy channel property for the radial linear wave equation
[Remarque sur la propriété de canaux d’énergie pour l’équation des ondes linéaire radiale]
Charles Collot 1   ; Thomas Duyckaerts 2 ,  3   ; Carlos Kenig 4   ; Frank Merle 1 ,  5
1 AGM (UMR 8088), CY Cergy Paris Université, France
2 LAGA (UMR 7539), Université Sorbonne Paris Nord, France
3 Département de mathématiques et applications (UMR 8553), École Normale Supérieure, France
4 University of Chicago, USA
5 Institut des Hautes Études Scientifiques, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 363 (2025), pp. 1457-1460

Cet article fait partie du numéro thématique De génération en génération : l'héritage mathématique de Haïm Brezis coordonné par Henri Berestycki et al..  

This note concerns an exterior energy bound (channel of energy property) for the linear radial wave equations, which is crucial in the proof of the soliton resolution for the energy-critical wave equations. We give a short and synthetic proof that this property in general odd space dimension follows from the case of space dimension 3, which is elementary. This gives a simple proof of the channel of energy property in all odd space dimensions. We also show by the same proof that the analogous bound in even space dimensions follows from the case of space dimension 4.

Cette note porte sur une borne de l’énergie extérieure (propriété de canaux d’énergie) pour l’équation des ondes linéaire radiale, qui est cruciale dans la démonstration de la résolution en solitons pour l’équation des ondes critique pour l’énergie. Nous présentons une démonstration courte et synthétique montrant que cette propriété, dans une dimension d’espace impaire quelconque, découle du cas de la dimension 3, qui est élémentaire. Cela fournit une preuve simple de la propriété de canaux d’énergie dans toutes les dimensions d’espace impaires. Nous montrons également, par le même raisonnement, que la borne analogue en dimensions paires découle du cas de la dimension 4.

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DOI : 10.5802/crmath.803
Classification : 35L05, 35B40

Charles Collot  1   ; Thomas Duyckaerts  2 , 3   ; Carlos Kenig  4   ; Frank Merle  1 , 5

1 AGM (UMR 8088), CY Cergy Paris Université, France
2 LAGA (UMR 7539), Université Sorbonne Paris Nord, France
3 Département de mathématiques et applications (UMR 8553), École Normale Supérieure, France
4 University of Chicago, USA
5 Institut des Hautes Études Scientifiques, France
Licence : CC-BY 4.0
Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits
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Charles Collot; Thomas Duyckaerts; Carlos Kenig; Frank Merle. Remark on the energy channel property for the radial linear wave equation. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 363 (2025), pp. 1457-1460. doi: 10.5802/crmath.803

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[4] Jean-Marc Delort Microlocal partition of energy for linear wave or Schrödinger equations, Tunis. J. Math., Volume 4 (2022) no. 2, pp. 329-385 | DOI | Zbl | MR

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[6] Thomas Duyckaerts; Carlos E. Kenig; Frank Merle Universality of blow-up profile for small radial type II blow-up solutions of the energy-critical wave equation, J. Eur. Math. Soc., Volume 13 (2011) no. 3, pp. 533-599 | DOI | MR | Zbl

[7] Thomas Duyckaerts; Carlos E. Kenig; Frank Merle Classification of radial solutions of the focusing, energy-critical wave equation, Camb. J. Math., Volume 1 (2013) no. 1, pp. 75-144 | DOI | Zbl

[8] Thomas Duyckaerts; Carlos E. Kenig; Frank Merle Soliton resolution for the radial critical wave equation in all odd space dimensions, Acta Math., Volume 230 (2023) no. 1, pp. 1-92 | DOI | Zbl

[9] Carlos E. Kenig; Andrew Lawrie; Baoping Liu; Wilhelm Schlag Channels of energy for the linear radial wave equation, Adv. Math., Volume 285 (2015), pp. 877-936 | DOI | MR | Zbl

[10] Liang Li; Ruipeng Shen; Lijuan Wei Explicit formula of radiation fields of free waves with applications on channel of energy, Anal. PDE, Volume 17 (2024) no. 2, pp. 723-748 | DOI | Zbl | MR

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