Comptes Rendus
no. 10
Effective equations describing the flow of a viscous incompressible fluid through a long elastic tube
[Equations efficaces décrivant l'écoulement d'un fluide visqueux incompressible dans un tuyau long et élastique]
Sunčica Čanić1 ; Andro Mikelić2
1 Department of Mathematics, University of Houston, Houston, TX 77204-3476, USA
2 UFR mathématiques, Université Claude Bernard Lyon 1, bât. 101, 43, bd. du 11 novembre 1918, 69622 Villeurbanne cedex, France
Comptes Rendus. Mécanique, Volume 330 (2002) no. 10, pp. 661-666.

Nous considérons l'écoulement d'un fluide incompressible visqueux à travers un tuyau long et de faible épaisseur, ayant la paroi latérale obéissant aux équations de Navier pour une membrane courbe élastique linéaire. L'écoulement est régi par une petite chute de pression entre l'entrée et la sortie du tuyau et on a un écoulement lent décrit par les équations de Stokes. En utilisant la méthode des développements asymptotiques, avec la réduction dimensionnelle dans la partie mince, nous obtenons les équations limites. Elles correspondent aux équations viscoélastiques de Biot pour la pression efficace et les déplacements efficaces. L'approximation est justifiée rigoureusement en obtenant une estimation d'erreur pour la vitesse, la pression et les déplacements « dilatés ». Des applications incluent l'écoulement sanguin dans des arterioles. Nous retrouvons la bien connue Loi de Laplace et donnons un nouveau modèle amélioré lorsque le module de cisaillement de la paroi n'est pas négligeable.

We study the flow of a viscous incompressible fluid through a long and narrow elastic tube whose walls are modeled by the Navier equations for a curved, linearly elastic membrane. The flow is governed by a given small time dependent pressure drop between the inlet and the outlet boundary, giving rise to creeping flow modeled by the Stokes equations. By employing asymptotic analysis in thin, elastic, domains we obtain the reduced equations which correspond to a Biot type viscoelastic equation for the effective pressure and the effective displacement. The approximation is rigorously justified by obtaining the error estimates for the velocity, pressure and displacement. Applications of the model problem include blood flow in small arteries. We recover the well-known Law of Laplace and provide a new, improved model when shear modulus of the vessel wall is not negligible.

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DOI : 10.1016/S1631-0721(02)01517-6
Keywords: fluid mechanics, creeping blood flow, viscoelasticity
Mot clés : mécanique des fluides, écoulement sanguin lent, viscoélasticité
Sunčica Čanić 1 ; Andro Mikelić 2

1 Department of Mathematics, University of Houston, Houston, TX 77204-3476, USA
2 UFR mathématiques, Université Claude Bernard Lyon 1, bât. 101, 43, bd. du 11 novembre 1918, 69622 Villeurbanne cedex, France 
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