Comptes Rendus
no. 11
Quelques modèles diffusifs capillaires de type Korteweg

Présenté par : Gérard Iooss

Didier Bresch1  ; Benoît Desjardins2, 3
1 LMC-IMAG UMR5223, 51, rue des mathématiques, B.P. 53, 38041 Grenoble, France
2 CEA/DIF, B.P. 12, 91680 Bruyères le Châtel, France
3 DMA E.N.S. Ulm, 45, rue d'Ulm, 75230 Paris cedex 05, France
Comptes Rendus. Mécanique, Volume 332 (2004) no. 11, pp. 881-886.

Le but de cette Note est de proposer de nouveaux modèles diffusifs capillaires de type Korteweg et d'analyser leurs propriétés mathématiques. Plus précisemment, on propose quelques modèles visqueux qui fournissent une information supplémentaire sur le comportement de la densité au voisinage du vide. On prouve en fait qu'une certaine relation de compatibilité entre la diffusion et la capillarité induit de la régularité sur une quantité liée à la densité. On obtient ainsi une égalité non triviale provenant de la structure particulière de l'équation de quantité de mouvement. Cette Note étend des travaux précédents réalisés par les auteurs sur le modèle de Korteweg (avec coefficient de capillarité constante) et sur les équations de Saint-Venant avec tension de surface.

The purpose of this Note is to propose new diffusive capillary models of Korteweg type and discuss their mathematical properties. More precisely, we introduce viscous models which provide some additional information on the behavior of the density close to vacuum. We actually prove that if some compatibility conditions between diffusion and capillarity are satisfied, some extra regularity information on a quantity involving the density is available. We obtain a non-trivial equality deduced from the special structure of the momentum equation. This Note generalizes to some extent the authors' previous works on the Korteweg model (with constant capillary coefficient) and on the shallow water equation.

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DOI : 10.1016/j.crme.2004.07.003
Mot clés : Mécanique des fluides numérique, Modèles d'interface diffuse, Modèles de type Korteweg, Estimations d'énergie, Modèles compressibles
Keywords: Computational fluid mechanics, Diffuse interface models, Korteweg models, Energy estimates, Compressible flows
Didier Bresch 1 ; Benoît Desjardins 2, 3

1 LMC-IMAG UMR5223, 51, rue des mathématiques, B.P. 53, 38041 Grenoble, France
2 CEA/DIF, B.P. 12, 91680 Bruyères le Châtel, France
3 DMA E.N.S. Ulm, 45, rue d'Ulm, 75230 Paris cedex 05, France 
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Didier Bresch; Benoît Desjardins. Quelques modèles diffusifs capillaires de type Korteweg. Comptes Rendus. Mécanique, Volume 332 (2004) no. 11, pp. 881-886. doi : 10.1016/j.crme.2004.07.003. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mecanique/articles/10.1016/j.crme.2004.07.003/

[1] D.J. Korteweg Sur la forme que prennent les équations du mouvement des fluides si l'on tient compte des forces capillaires causées par des variations de densité considérables mais continues et sur la théorie de la capillarité dans l'hypothèse d'une variation continue de la densité, Archives Néerlandaises de Sciences Exactes et Naturelles (1901), pp. 1-24

[2] D.M. Anderson; G.B. McFadden; A.A. Wheeler Diffusive interface methods in fluid mechanics, Annu. Rev. Fluid Mech., Volume 30 (1998), pp. 139-165

[3] D. Bresch; B. Desjardins; C.K. Lin On some compressible fluid models: Korteweg, lubrication and shallow water systems, Commun. Partial Differential Equations, Volume 28 (2003) no. 3/4, pp. 1009-1037

[4] D. Bresch; B. Desjardins Existence of global weak solutions for a 2D viscous shallow water equations and convergence to the quasi-geostrophique model, Commun. Math. Phys., Volume 238 (2003) no. 1/2, pp. 211-223

[5] D. Bresch; B. Desjardins; B. Ducomet Quasi-neutral limit for a viscous capillary model of plasma, Annales I.H.P. (2004) (à paraître)

[6] F. Gerbeau; B. Perthame Derivation of viscous Saint-Venant system for laminar shallow water: Numerical results, Discrete Continuous Dynamical Systems, Ser. B, Volume 1 (2001), pp. 89-102

[7] P. Gent The energetically consistent shallow water equations, J. Atmos. Sci., Volume 50 (1993), pp. 1323-1325

[8] I. Gasser; C.K. Lin; P.A. Markowitch A review of dispersive limits of (non)linear Schrödinger-type equations, Taiwanese J. Math., Volume 4 (2000) no. 4, pp. 501-529

[9] P.-L. Lions Mathematical Topics in Fluid Dynamics, vol. 2, Oxford University Press, 1998

[10] D. Bresch; E.H. Essoufi; M. Sy De nouveaux systèmes de type Kazhikhov–Smagulov : modèles de propagation de polluants et de combustion à faible nombre de Mach, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 335 (2002), pp. 973-978

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