The simplifications required to apply the Boussinesq approximation to compressible flow are compared with those in an incompressible fluid. The larger degree of approximation required to describe mass conservation in a stratified compressible fluid using the Boussinesq continuity equation has led to the development of several different sets of ‘anelastic’ equations that may be regarded as generalizations of the original Boussinesq approximation. These anelastic systems filter sound waves while allowing a more accurate representation of non-acoustic perturbations in compressible flows than can be obtained using the Boussinesq system. The energy conservation properties of several anelastic systems are compared under the assumption that the perturbations of the thermodynamic variables about a hydrostatically balanced reference state are small. The ‘pseudo-incompressible’ system is shown to conserve total kinetic and anelastic dry static energy without requiring modification to any governing equation except the mass continuity equation. In contrast, other energy conservative anelastic systems also require additional approximations in other governing equations. The pseudo-incompressible system includes the effects of temperature changes on the density in the mass conservation equation, whereas this effect is neglected in other anelastic systems. A generalization of the pseudo-incompressible equation is presented and compared with the diagnostic continuity equation for quasi-hydrostatic flow in a transformed coordinate system in which the vertical coordinate is solely a function of pressure.
Les simplifications requises pour l'application de l'approximation de Boussinesq à un fluide compressible sont comparées avec celles d'un fluide incompressible. Le niveau plus élevé d'approximation requis pour décrire la conservation de la masse dans un fluide compressible stratifié au moyen de l'équation de continuité de Boussinesq conduit au développement de différents systèmes d'équations « anélastiques » qui peuvent être considérés comme des généralisations de l'approximation originale de Boussinesq. Ces systèmes anélastiques filtrent les ondes sonores tout en permettant une représentation des perturbations non-acoustiques plus précise que celle qui est obtenue avec le système de Boussinesq. Nous comparons les propriétés de plusieurs systèmes anélastiques quant à la conservation de l'énergie, sous l'hypothèse que les perturbations des variables thermodynamiques à partir d'un état hydrodynamique d'équilibre de référence sont faibles. Nous montrons que le système « pseudo-incompressible » conserve l'énergie cinétique totale et l'énergie anélastique statique sèche sans qu'il soit nécessaire de modifier aucune des équations principales, sauf l'équation de continuité. Au contraire, d'autres systèmes anélastiques conservant l'énergie requièrent des approximations supplémentaires dans d'autres équations principales. Le système « pseudo-incompressible » inclut les effets des changements de température sur la densité dans l'équation de conservation de la masse, alors que cet effet est omis dans d'autres systèmes anélastiques. Nous présentons une généralisation de l'équation pseudo-incompressible et la comparons avec l'équation diagnostique de continuité pour un flux quasi-hydrostatique dans un système de coordonnées transformé dans lequel la coordonnée verticale est fonction de la seule pression.
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Mot clés : Mécanique des fluides, Approximation de Boussinesq, Anélastique, Pseudo-incompressible, Coordonnées de pression, Coordonnées pseudo-hauteur, Nombre de Mach faible
Dale R. Durran 1; Akio Arakawa 2
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Dale R. Durran; Akio Arakawa. Generalizing the Boussinesq approximation to stratified compressible flow. Comptes Rendus. Mécanique, Volume 335 (2007) no. 9-10, pp. 655-664. doi : 10.1016/j.crme.2007.08.010. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mecanique/articles/10.1016/j.crme.2007.08.010/
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