Gradient thermodynamics and heat equations

Quoc-Son Nguyen

doi:10.1016/j.crme.2010.07.010

Gradient thermodynamics and heat equations
[Modèle thermodynamique à gradients et l'équation thermique]

Quoc-Son Nguyen ¹

¹ Laboratoire de mécanique des solides, CNRS (umr7649), École polytechnique, 91128 Palaiseau, France

Comptes Rendus. Mécanique, Volume 338 (2010) no. 6, pp. 321-326.

Résumé
Abstract

On propose dans cette Note un cadre thermodynamique incluant le gradient de la température comme une variable d'état supplémentaire. Cette théorie est construite à partir d'une relation originale reliant les expresssions de l'énergie interne et l'énergie libre par transformation de Legendre étendue aux variables $(T, \nabla T)$ . La description proposée peut être justifiée par un passage micro–macro. En particulier, l'équation thermique résultante est discutée et comparée avec les résultats antérieurs de la littérature. On montre que cette équation enlève le paradoxe de propagation instantanée.

In this Note, a thermodynamic description is proposed to include the gradient of the temperature in the set of state variables. It is based upon an original expression of the entropy and of the internal energy taking account of the presence of the temperature gradient by Legendre transform with respect to the variable $(T, \nabla T)$ . The proposed description can be justified in a homogenization process. In particular, the associated heat equation is derived and discussed in comparison with the existing results of the literature. It is shown that this equation removes the paradox of instantaneous propagation.

Reçu le : 2010-04-19
Accepté le : 2010-07-16
Publié le : 2010-06-01

DOI : 10.1016/j.crme.2010.07.010

Keywords: Continuum mechanics, Continuum thermodynamics, State variable, Temperature gradient, Heat equation
Mot clés : Milieux continus, Thermodynamique des milieux continus, Variable d'état, Gradient de température, Équation thermique

Affiliations des auteurs :

Quoc-Son Nguyen ¹

¹ Laboratoire de mécanique des solides, CNRS (umr7649), École polytechnique, 91128 Palaiseau, France

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Quoc-Son Nguyen. Gradient thermodynamics and heat equations. Comptes Rendus. Mécanique, Volume 338 (2010) no. 6, pp. 321-326. doi : 10.1016/j.crme.2010.07.010. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mecanique/articles/10.1016/j.crme.2010.07.010/

Bibliographie
Cité par

[1] P. Germain Cours de mécanique des milieux continus, Masson, Paris, 1973

[2] S. Andrieux, P. de Bonniers, Including thermal gradients into thermo-elastic damaging constitutive laws, Rapport EDF HI-74:049-0, 1994.

[3] S. Forest; J.M. Cardona; R. Sievert Thermoelasticity of second-grade media (G. Maugin; R. Drouot; F. Sidoroff, eds.), Continuum Thermodynamics, Kluwer, Dordrecht, 2000

[4] S. Forest; M. Amestoy Hypertemperature in thermoelastic solids, C. R. Mecanique, Volume 336 (2008), pp. 347-353

[5] Q.S. Nguyen; S. Andrieux The non-local generalized standard approach: a consistent gradient theory, C. R. Mecanique, Volume 333 (2005), pp. 139-145

[6] M. Frémond Contact unilatéral avec adhérence : une théorie du premier gradient (G. Del Piero; F. Maceri, eds.), Unilateral Problems in Structural Analysis, CISM Course, vol. 304, Springer-Verlag, Wien, 1985, pp. 117-137

[7] M.E. Gurtin Generalized Ginzburg–Landau and Cahn–Hilliard equations based on a microforce balance, Physica D, Volume 92 (1996), pp. 178-192

[8] G.A. Maugin; W. Muschik Thermodynamics with internal variables, part 1: General concepts, J. Non-Equilib. Thermodyn., Volume 19 (1994), pp. 217-249

[9] J. Mandel Cours de mécanique des milieux continus, Gauthier-Villars, Paris, 1966

[10] H.S. Carslaw; J.C. Jaeger Conduction of Heat in Solids, Oxford University Press, London, 1959

[11] C. Cattaneo Sur une forme de l'équation de la chaleur éliminant le paradoxe de la propagationn instantanée, C. R. Acad. Sci., Volume 247 (1958), pp. 431-432

[12] M.E. Gurtin; A.C. Pipkin A general theory of heat conduction with finite wave speeds, Arch. Rat. Mech. Anal., Volume 32 (1968), pp. 113-126

[13] I. Muller; T. Ruggeri Extended Thermodynamics, Springer, Berlin, 1993

[14] W. Roetzet; N. Putra; S.K. Das Experiment and analysis for non-Fourier conduction in materials with non-homogeneous inner structure, Int. J. Thermal Sci., Volume 42 (2003), pp. 541-552

[15] G.A. Maugin Internal variables and dissipative structures, J. Non-Equilib. Thermodyn., Volume 15 (1990), pp. 173-192

[16] P. Ireman; Q.S. Nguyen Using the gradients of temperature and internal parameters in continuum thermodynamics, C. R. Mecanique, Volume 332 (2004), pp. 249-255

[17] C. Boutin Microstructural influence on heat conduction, Int. J. Heat Mass Transfer, Volume 38 (1995), pp. 3181-3195

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