[Expressions analytiques donnant la dimension d'un tenseur anisotrope d'ordre impair]
En fonction des symétries qu'un milieu possède, le nombre de coefficients génériques nécessaire à la définition d'une loi tensorielle varie. Dans le contexte de l'élasticité linéaire, si le milieu ne presente aucune symétrie, 21 coefficients élastiques sont génériquement nécessaires, tandis que, dans le cas de l'isotropie, ce nombre se réduit à 2. Dans une précédente note, nous avions dérivé des formules analytiques donnant, dans le cas d'un tenseur pair, le nombre de coefficients génériques nécessaire pour chaque type d'anisotropie. Le but de cette nouvelle contribution est de compléter ces formules, en les étendant au cas des tenseurs impairs. En guise d'illustration, nous calculerons, pour l'ensemble des systèmes d'anisotropie possibles, la dimension des tenseurs piezoélectriques (ordre 3) ainsi que des tenseurs de couplage de la théorie de l'élasticité à gradient (ordre 5).
According to the symmetries of the matter, the number of coefficients needed to define a tensorial relation varies. It is well known that in linear elasticity the number of generic coefficients varies from 21, for a complete anisotropic material, to 2, in case of isotropy. In a previous contribution, we provided analytical expressions that give the number of generic anisotropic coefficients in any anisotropic system for an even-order tensor. In the present note, we aim at extending the previous results to the case of odd-order tensors. As an illustration, the dimension of any anisotropic system for third-order piezoelectricity tensors and of the fifth-order coupling tensors of Mindlin's strain-gradient elasticity are determined.
Accepté le :
Publié le :
Mot clés : Matériaux anisotropes, Tenseurs, Élasticité généralisée
@article{CRMECA_2014__342_5_284_0,
author = {Nicolas Auffray},
title = {Analytical expressions for odd-order anisotropic tensor dimension},
journal = {Comptes Rendus. M\'ecanique},
pages = {284--291},
publisher = {Elsevier},
volume = {342},
number = {5},
year = {2014},
doi = {10.1016/j.crme.2014.01.012},
language = {en},
}
Nicolas Auffray. Analytical expressions for odd-order anisotropic tensor dimension. Comptes Rendus. Mécanique, Volume 342 (2014) no. 5, pp. 284-291. doi : 10.1016/j.crme.2014.01.012. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mecanique/articles/10.1016/j.crme.2014.01.012/
[1] A new constructive method using the theory of invariants to obtain material behavior laws, Int. J. Solids Struct., Volume 43 (2006), pp. 325-345
[2] Evaluation of generalized continuum substitution models for heterogeneous materials, Int. J. Multiscale Comput. Eng., Volume 10 (2012), pp. 527-549
[3] Determination of the symmetries of an experimentally determined stiffness tensor: application to acoustic measurements, Int. J. Solids Struct., Volume 35 (1998), pp. 4091-4106
[4] Une nouvelle analyse des symétries d'un matériau élastique anisotrope. Exemple d'utilisation à partir de mesures ultrasonores, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. IIb, Volume 322 (1996), pp. 87-94
[5] Eigentensors of linear anisotropic elastic materials, Q. J. Mech. Appl. Math., Volume 43 (1990), pp. 15-41
[6] Symmetry classes for elasticity tensors, J. Elast., Volume 43 (1996), pp. 81-108
[7] Strain gradient plasticity (J.W. Hutchinson; T.Y. Wu, eds.), Adv. Appl. Mech., vol. 33, Academic Press, New York, 1997
[8] Truss modular beams with deformation energy depending on higher displacement gradients, Math. Mech. Solids, Volume 8 (2003), pp. 51-73
[9] Second gradient poromechanics, Int. J. Solids Struct., Volume 44 (2007), pp. 6607-6629
[10] Démonstration du théorème d'Hermann à partir de la méthode Forte–Vianello, C. R. Mecanique, Volume 336 (2008), pp. 458-463
[11] Décomposition harmonique des tenseurs – Méthode spectrale, C. R. Mecanique, Volume 336 (2008), pp. 370-375
[12] Analytical expressions for anisotropic tensor dimension, C. R. Mecanique, Volume 338 (2010), pp. 260-265
[13] Etude des symétries et modèles de plaques en piézoélectricité linéarisée, Université Montpellier-2, 2004 (PhD thesis)
[14] Piezomagnetic tensors symmetries: an unifying tentative approach, Configurational Mechanics: Proceedings of the Configurational Mechanics, Taylor & Francis, 2004
[15] Symmetry types of the piezoelectric tensor and their identification, Proc. R. Soc. A, Volume 469 (2013)
[16] On first strain-gradient theories in linear elasticity, Int. J. Solids Struct., Volume 4 (1968), pp. 109-124
[17] The description, classification, and reality of material and physical symmetries, Acta Mech., Volume 102 (1994), pp. 73-89
[18] Group Theory and Physics, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1994
[19] Orthogonal irreducible decompositions of tensors of high orders, Math. Mech. Solids, Volume 6 (2001), pp. 249-267
[20] The description of the physical properties of condensed matter using irreducible tensors, Adv. Phys., Volume 27 (1978), pp. 609-650
[21] Singularities and Groups in Bifurcation Theory, vol. II, Springer-Verlag, 1989
[22] Groupes et symétries. Groupes finis, groupes et algébres de Lie, représentations, Éditions de l'École polytechnique, Paris, 2005
[23] Symmetry classes for odd-order tensors, Z. Angew. Math. Mech. (2013) | DOI
[24] Matrix representations for 3D strain-gradient elasticity, J. Mech. Phys. Solids, Volume 61 (2013), pp. 1202-1223
[25] Symmetry classes for even-order tensors, Math. Mech. Complex Syst., Volume 1 (2013) no. 2, pp. 177-210
[26] Generalized Hooke's law for isotropic second gradient materials, Proc. R. Soc. A, Volume 465 (2009), pp. 2177-2196
Cité par Sources :
Commentaires - Politique
Applications géodésiques du système DORIS à l'Institut géographique national
Pascal Willis; Claude Boucher; Hervé Fagard; ...
C. R. Géos (2005)
Integrability of the periodic Kostant–Toda flow on matrix loops of level k
Luen-Chau Li; Zhaohu Nie
C. R. Math (2015)