This paper proposes an original homogenization approach for materials characterized by a periodic lacunar microstructure with fractal geometry. The geometrical complexity of these materials creates major difficulties for the application of conventional homogenization methods to evaluate their effective properties. As the fractal level increases, the number of degrees of freedom in the numerical models grows sharply, making the computations very expensive and, beyond a certain level, inaccessible. To address this challenge, an indirect homogenization technique was developed on the basis of a classical direct homogenization technique (periodic homogenization by the average method), by embedding into this homogenization process the iterative process of generating fractal geometries following the iterated function systems principle. The two techniques were applied to two-dimensional extruded geometries and to a fully three-dimensional case. For iteration levels where both techniques could be compared, their results were very close. In addition, the indirect technique is substantially more efficient, requiring lower computational cost in terms of time and memory, and enabling the study of iteration levels that cannot be reached with the direct one. Finally, when the iteration level tends to infinity the theoretical and numerical convergence values of the homogenized elasticity tensors are equal. This provides direct proof of the quality of the method.
Cet article propose une nouvelle technique d’homogénéisation pour des matériaux caractérisés par une microstructure périodique lacunaire à géométrie fractale. La complexité géométrique de ces matériaux pose des problèmes importants pour l’application des techniques d’homogénéisation traditionnelles afin d’évaluer leurs propriétés effectives. En effet, l’augmentation du niveau fractal entraîne une forte croissance du nombre de degrés de liberté dans les modèles numériques, ce qui rend les calculs très coûteux et, au-delà d’un certain seuil, inaccessibles. Pour surmonter ce défi, une technique d’homogénéisation indirecte a été développée à partir d’une technique d’homogénéisation directe connue (l’homogénéisation périodique par la technique de la moyenne), en y intégrant le processus itératif de génération des géométries fractales par les systèmes de fonctions itérées. Les deux techniques ont été appliquées à des géométries fractales bidimensionnelles extrudées ainsi qu’à un cas tridimensionnel. Pour les niveaux d’itération où les deux techniques pouvaient être comparées, leurs résultats se sont révélés très proches. De plus, la technique indirecte s’est montrée nettement plus efficace, nécessitant un coût de calcul réduit, tant en temps qu’en mémoire, et permettant d’étudier des niveaux d’itération inaccessibles avec la technique directe. Enfin, lorsque le niveau d’itération tend vers l’infini, le tenseur de rigidité à convergence théorique et celui numérique sont égaux. Ce résultat apporte une preuve directe de la qualité de la méthode.
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Mots-clés : Homogénéisation, géométries fractales, matériaux lacunaires
Rawad Wakim 1 ; Quentin Javey 1 ; Christian Gentil 2 ; Cristian Ovalle Rodas 1 ; Lucien Laiarinandrasana 1 ; Alain Thionnet 1 , 3
CC-BY 4.0
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