Integral equations for the four-body problem

Christophe Mora; Yvan Castin; Ludovic Pricoupenko

doi:10.1016/j.crhy.2010.12.005

Integral equations for the four-body problem
[Équations intégrales pour le problème à quatre corps]

Christophe Mora ¹ ; Yvan Castin ² ; Ludovic Pricoupenko ³

¹ Laboratoire Pierre-Aigrain, École normale supérieure, CNRS and Paris 7 Diderot, 24, rue Lhomond, 75231 Paris cedex 05, France
² Laboratoire Kastler Brossel, École normale supérieure, CNRS and UPMC, 24, rue Lhomond, 75231 Paris cedex 05, France
³ Laboratoire de physique théorique de la matière condensée, UPMC and CNRS, 4, place Jussieu, 75252 Paris cedex 05, France

Comptes Rendus. Physique, Volume 12 (2011) no. 1, pp. 71-85.

Résumé
Abstract

Nous considérons les problèmes à quatre bosons et à $3 + 1$ fermions en utilisant un Hamiltonien modèle incluant le mécanisme de la résonance de Feshbach avec un couplage cohérent entre deux atomes dans la voie ouverte et une molécule dans la voie fermée. Le modèle comprend aussi une interaction directe entre atomes dans la voie ouverte, et dans le cas bosonique, l'interaction entre deux molécules de la voie fermée. Les interactions sont modélisées par des potentiels séparables, ce qui permet de ramener le problème à quatre corps à la résolution d'une équation intégrale unique. L'invariance par rotation et par parité du Hamiltonien permet de réduire l'équation aux valeurs propres générale dans chaque secteur de moment cinétique fixé à une équation intégrale portant sur des fonctions de trois variables réelles seulement. Une première application de ces considérations a déjà été mise en œuvre dans [Y. Castin, C. Mora, L. Pricoupenko, Phys. Rev. Lett. 105 (2010) 223201].

We consider the four-boson and $3 + 1$ fermionic problems with a model Hamiltonian which encapsulates the mechanism of the Feshbach resonance involving the coherent coupling of two atoms in the open channel and a molecule in the closed channel. The model includes also the pair-wise direct interaction between atoms in the open channel and in the bosonic case, the direct molecule–molecule interaction in the closed channel. Interactions are modeled by separable potentials which makes it possible to reduce the four-body problem to the study of a single integral equation. We take advantage of the rotational symmetry and parity invariance of the Hamiltonian to reduce the general eigenvalue equation in each angular momentum sector to an integral equation for functions of three real variables only. A first application of this formalism in the zero-range limit is given elsewhere [Y. Castin, C. Mora, L. Pricoupenko, Phys. Rev. Lett. 105 (2010) 223201].

Publié le : 2011-01-01

DOI : 10.1016/j.crhy.2010.12.005

Keywords: Few-body problem, Feshbach resonance, Efimov effect
Mot clés : Problème à petit nombre de corps, Résonance de Feshbach, Phénomène d'Efimov

Affiliations des auteurs :

Christophe Mora ¹ ; Yvan Castin ² ; Ludovic Pricoupenko ³

@article{CRPHYS_2011__12_1_71_0,
     author = {Christophe Mora and Yvan Castin and Ludovic Pricoupenko},
     title = {Integral equations for the four-body problem},
     journal = {Comptes Rendus. Physique},
     pages = {71--85},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {12},
     number = {1},
     year = {2011},
     doi = {10.1016/j.crhy.2010.12.005},
     language = {en},
}

TY  - JOUR
AU  - Christophe Mora
AU  - Yvan Castin
AU  - Ludovic Pricoupenko
TI  - Integral equations for the four-body problem
JO  - Comptes Rendus. Physique
PY  - 2011
SP  - 71
EP  - 85
VL  - 12
IS  - 1
PB  - Elsevier
DO  - 10.1016/j.crhy.2010.12.005
LA  - en
ID  - CRPHYS_2011__12_1_71_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Christophe Mora
%A Yvan Castin
%A Ludovic Pricoupenko
%T Integral equations for the four-body problem
%J Comptes Rendus. Physique
%D 2011
%P 71-85
%V 12
%N 1
%I Elsevier
%R 10.1016/j.crhy.2010.12.005
%G en
%F CRPHYS_2011__12_1_71_0

Christophe Mora; Yvan Castin; Ludovic Pricoupenko. Integral equations for the four-body problem. Comptes Rendus. Physique, Volume 12 (2011) no. 1, pp. 71-85. doi : 10.1016/j.crhy.2010.12.005. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/physique/articles/10.1016/j.crhy.2010.12.005/

Bibliographie
Cité par

[1] E. Braaten; H.-W. Hammer Phys. Rep., 428 (2006), p. 259

[2] T. Kraemer; M. Mark; P. Waldburger; J.G. Danzl; C. Chin; B. Engeser; A.D. Lange; K. Pilch; A. Jaakkola; H.-C. Nägerl; R. Grimm; M. Zaccanti; B. Deissler; C. D'Errico; M. Fattori; M. Jona-Lasinio; S. Müller; G. Roati; M. Inguscio; G. Modugno; N. Gross; Z. Shotan; S. Kokkelmans; L. Khaykovich; N. Gross; Z. Shotan; S. Kokkelmans; L. Khaykovich; S.E. Pollack; D. Dries; R.G. Hulet; T. Lompe; T.B. Ottenstein; F. Serwane; A.N. Wenz; G. Zürn; S. Jochim Science, 440 (2006), p. 315

[3] C. Chin; R. Grimm; P. Julienne; E. Tiesinga Rev. Mod. Phys., 82 (2010), p. 1225

[4] G.V. Skorniakov; K.A. Ter-Martirosian Sov. Phys. JETP, 4 (1957), p. 648

[5] G.S. Danilov Sov. Phys. JETP, 13 (1961), p. 349

[6] V. Efimov; V. Efimov; A. Bulgac; V. Efimov Sov. J. Nucl. Phys., 12 (1971), p. 589

[7] E. Wigner Z. Phys., 83 (1933), p. 253

[8] H. Bethe; R. Peierls Proc. R. Soc. London, Ser. A, 148 (1935), p. 146

[9] V. Efimov Phys. Rev. C, 47 (1993), p. 1876

[10] D.S. Petrov Phys. Rev. Lett., 93 (2004), p. 143201

[11] L. Pricoupenko Phys. Rev. A, 73 (2006), p. 012701

[12] E. Timmermans; P. Tommasini; M. Hussein; A. Kerman Phys. Rep., 315 (1999), p. 199

[13] M. Holland; S.J.J.M.F. Kokkelmans; M.L. Chiofalo; R. Walser; J.N. Milstein; S.J.J.M.F. Kokkelmans; M.J. Holland Phys. Rev. A, 87 (2001), p. 120406

[14] K. Góral; T. Köhler; S.A. Gardiner; E. Tiesinga; P.S. Julienne; M.H. Szymańska; K. Góral; T. Köhler; K. Burnett Phys. Rev. A, 37 (2004), p. 3457

[15] T. Köhler; K. Góral; P. Julienne Rev. Mod. Phys., 78 (2006), p. 1311

[16] M. Lee; T. Köhler; P. Julienne Phys. Rev. A, 76 (2007), p. 012720

[17] V. Gurarie; L. Radzihovsky Ann. Phys., 322 (2007), p. 2

[18] M. Jona-Lasinio; L. Pricoupenko; Y. Castin Phys. Rev. A, 77 (2008), p. 043611

[19] A. Gogolin; C. Mora; R. Egger Phys. Rev. Lett., 100 (2008), p. 140404

[20] B. Marcelis; B. Verhaar; S. Kokkelmans Phys. Rev. Lett., 100 (2008), p. 153201

[21] B. Marcelis; E.G.M. van Kempen; B.J. Verhaar; S.J.J.M.F. Kokkelmans Phys. Rev. A, 70 (2004), p. 012701

[22] P. Massignan; H.T.C. Stoof; L. Pricoupenko Phys. Rev. A, 78 (2008), p. 030701(R)

[23] M. Jona-Lasinio; L. Pricoupenko Phys. Rev. Lett., 104 (2010), p. 023201

[24] R. Minlos On pointlike interaction between n fermions and another particle, Trieste, 29 September–1 October 1994 (1995)

[25] D.S. Petrov; C. Salomon; G. Shlyapnikov Phys. Rev. Lett., 93 (2004), p. 090404

[26] D. Blume; J. von Stecher; Chris H. Greene; J. von Stecher; Chris H. Greene; D. Blume; J. von Stecher; Chris H. Greene Phys. Rev. Lett., 99 (2007), p. 233201

[27] S.Y. Chang; G.F. Bertsch Phys. Rev. A, 76 (2007), p. 021603(R)

[28] D. Blume; D. Blume; K.M. Daily Phys. Rev. Lett., 78 (2008), p. 013613

[29] J. von Stecher; J.P. D'Incao; C.H. Greene Nat. Phys., 5 (2009), p. 417

[30] A. Nogga; H. Kamada; W. Glöckle Phys. Rev. Lett., 85 (2000), p. 944

[31] A. Deltuva; A.C. Fonseca Phys. Rev. Lett., 98 (2007), p. 162502

[32] H.-W. Hammer; L. Platter Eur. Phys. J. A, 32 (2007), p. 113

[33] A. Deltuva, 2010 | arXiv

[34] Y. Castin; C. Mora; L. Pricoupenko Phys. Rev. Lett., 105 (2010), p. 223201

[35] F. Werner; L. Tarruell; Y. Castin Eur. Phys. J. B, 68 (2009), p. 401

[36] A.J. Moerdijk; B.J. Verhaar; A. Axelsson Phys. Rev. A, 51 (1995), p. 4852

[37] B. Gao; B. Gao J. Phys. B, 58 (1998), p. 1728

[38] G.F. Gribakin; V.V. Flambaum; V.V. Flambaum; G.F. Gribakin; C. Harabti Phys. Rev. A, 48 (1993), p. 546

[39] P. Nozières; S. Schmitt-Rink J. Low Temp. Phys., 59 (1985), p. 195

[40] Wu-Ki Tung Group Theory in Physics, World Scientific, Singapore, 1985

Cité par Sources :

Commentaires - Politique

Ces articles pourraient vous intéresser

Exact solution of the three-boson problem at vanishing energy

Christophe Mora; Alexander O. Gogolin; Reinhold Egger

C. R. Phys (2011)

Three-body contact for fermions. I. General relations

Félix Werner; Xavier Leyronas

C. R. Phys (2024)