Comptes Rendus
no. 11
Viscoélastodynamique monodimensionnelle avec conditions de Signorini
Adrien Petrov1 ; Michelle Schatzman1
1 MAPLY, CNRS et Université Claude Bernard-Lyon 1, Mathématiques, 21 avenue Claude Bernard, 69622 Villeurbanne cedex, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 334 (2002) no. 11, pp. 983-988.

Soit α un nombre strictement positif. Le problème viscoélastique monodimensionnel

u tt -u xx -αu xxt =f,x∈(-∞,0],t∈[0,+∞),
avec les conditions au bord unilatérales
u(0,·)⩾0,(u x +αu xt )(0,·)⩾0,(u(u x +αu xt ))(0,·)=0,
peut être réduit à l'inéquation variationnelle suivante :
λ 1 *w=g+b,w⩾0,b⩾0,〈w,b〉=0.
Ici λ ^ 1 (ω) est la détermination causale de iω1+iαω. On démontre que ce problème possède une solution et que les pertes d'énergie sont purement visqueuses ; ce résultat provient de la relation 〈w ˙,b〉=0, qui n'est pas triviale puisque, a priori, b est une mesure et w ˙ n'est définie que presque partout.

Let α be a positive number. The one-dimensional viscoelastic problem

u tt -u xx -αu xxt =f,x∈(-∞,0],t∈[0,+∞),
with unilateral boundary conditions
u(0,·)⩾0,(u x +αu xt )(0,·)⩾0,(u(u x +αu xt ))(0,·)=0,
can be reduced to the following variational inequality:
λ 1 *w=g+b,w⩾0,b⩾0,〈w,b〉=0.
Here λ ^ 1 (ω) is the causal determination of iω1+iαω. We show that the energy losses are purely viscous; this result is a consequence of the relation 〈w ˙,b〉=0; since a priori, b is a measure and w ˙ is defined only almost everywhere, this relation is not trivial.

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DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02399-3
Adrien Petrov 1 ; Michelle Schatzman 1

1 MAPLY, CNRS et Université Claude Bernard-Lyon 1, Mathématiques, 21 avenue Claude Bernard, 69622 Villeurbanne cedex, France 
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Adrien Petrov; Michelle Schatzman. Viscoélastodynamique monodimensionnelle avec conditions de Signorini. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 334 (2002) no. 11, pp. 983-988. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02399-3. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(02)02399-3/

[1] L. Amerio Su un problem di vincoli unilaterali per l'equazione non omogenea delle corda vibrante, Publ. I. A. C. Serie III, Volume 109 (1976)

[2] L. Amerio On the motion of a string vibrating through a moving ring with a continuously variable diameter, Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. (8), Volume 62 (1977) no. 2, pp. 134-142

[3] M.G. Crandall; A. Pazy Semi-groups of nonlinear contractions and dissipative sets, J. Funct. Anal., Volume 3 (1969), pp. 376-418

[4] J. Jarušek Remark to dynamic contact problems for bodies with a singular memory, Comment. Math. Univ. Carolin., Volume 39 (1998) no. 3, pp. 545-550

[5] J.U. Kim A boundary thin obstacle problem for a wave equation, Comm. Partial Differential Equations, Volume 14 (1989) no. 8–9, pp. 1011-1026

[6] G. Lebeau; M. Schatzman A wave problem in a half-space with a unilateral constraint at the boundary, J. Differential Equations, Volume 53 (1984) no. 3, pp. 309-361

[7] M. Schatzman Le système différentiel (d2u/dt2)+∂ϕ(u)∋f avec conditions initiales, C. R. Acad. Sci. Paris, Série A–B, Volume 284 (1977) no. 11, p. A603-A606

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