Viscoélastodynamique monodimensionnelle avec conditions de Signorini
[One-dimensional viscoelastodynamics with Signorini boundary conditions]
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 334 (2002) no. 11, pp. 983-988.

Let α be a positive number. The one-dimensional viscoelastic problem

 ${u}_{\mathrm{tt}}-{\mathrm{u}}_{\mathrm{xx}}-\alpha {\mathrm{u}}_{\mathrm{xxt}}=\mathrm{f},\phantom{\rule{10.0pt}{0ex}}\mathrm{x}\in \left(-\infty ,0\right],\phantom{\rule{3.30002pt}{0ex}}\mathrm{t}\in \left[0,+\infty \right),$
with unilateral boundary conditions
 $\mathrm{u}\left(0,·\right)⩾0,\phantom{\rule{10.0pt}{0ex}}\left({\mathrm{u}}_{x}+\alpha {\mathrm{u}}_{\mathrm{xt}}\right)\left(0,·\right)⩾0,\phantom{\rule{10.0pt}{0ex}}\left(\mathrm{u}\left({\mathrm{u}}_{x}+\alpha {\mathrm{u}}_{\mathrm{xt}}\right)\right)\left(0,·\right)=0,$
can be reduced to the following variational inequality:
 ${\lambda }_{1}*\mathrm{w}=\mathrm{g}+\mathrm{b},\phantom{\rule{10.0pt}{0ex}}\mathrm{w}⩾0,\phantom{\rule{3.30002pt}{0ex}}\mathrm{b}⩾0,\phantom{\rule{3.30002pt}{0ex}}〈\mathrm{w},\mathrm{b}〉=0.$
Here ${\stackrel{^}{\lambda }}_{1}\left(\omega \right)$ is the causal determination of $\mathrm{i}\omega \sqrt{1+\mathrm{i}\alpha \omega }$. We show that the energy losses are purely viscous; this result is a consequence of the relation $〈\stackrel{˙}{w},\mathrm{b}〉=0$; since a priori, b is a measure and $\stackrel{˙}{w}$ is defined only almost everywhere, this relation is not trivial.

Soit α un nombre strictement positif. Le problème viscoélastique monodimensionnel

 ${u}_{\mathrm{tt}}-{\mathrm{u}}_{\mathrm{xx}}-\alpha {\mathrm{u}}_{\mathrm{xxt}}=\mathrm{f},\phantom{\rule{10.0pt}{0ex}}\mathrm{x}\in \left(-\infty ,0\right],\phantom{\rule{3.30002pt}{0ex}}\mathrm{t}\in \left[0,+\infty \right),$
avec les conditions au bord unilatérales
 $\mathrm{u}\left(0,·\right)⩾0,\phantom{\rule{10.0pt}{0ex}}\left({\mathrm{u}}_{x}+\alpha {\mathrm{u}}_{\mathrm{xt}}\right)\left(0,·\right)⩾0,\phantom{\rule{10.0pt}{0ex}}\left(\mathrm{u}\left({\mathrm{u}}_{x}+\alpha {\mathrm{u}}_{\mathrm{xt}}\right)\right)\left(0,·\right)=0,$
peut être réduit à l'inéquation variationnelle suivante :
 ${\lambda }_{1}*\mathrm{w}=\mathrm{g}+\mathrm{b},\phantom{\rule{10.0pt}{0ex}}\mathrm{w}⩾0,\phantom{\rule{3.30002pt}{0ex}}\mathrm{b}⩾0,\phantom{\rule{3.30002pt}{0ex}}〈\mathrm{w},\mathrm{b}〉=0.$
Ici ${\stackrel{^}{\lambda }}_{1}\left(\omega \right)$ est la détermination causale de $\mathrm{i}\omega \sqrt{1+\mathrm{i}\alpha \omega }$. On démontre que ce problème possède une solution et que les pertes d'énergie sont purement visqueuses ; ce résultat provient de la relation $〈\stackrel{˙}{w},\mathrm{b}〉=0$, qui n'est pas triviale puisque, a priori, b est une mesure et $\stackrel{˙}{w}$ n'est définie que presque partout.

Published online:
DOI: 10.1016/S1631-073X(02)02399-3

Adrien Petrov 1; Michelle Schatzman 1

1 MAPLY, CNRS et Université Claude Bernard-Lyon 1, Mathématiques, 21 avenue Claude Bernard, 69622 Villeurbanne cedex, France
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Adrien Petrov; Michelle Schatzman. Viscoélastodynamique monodimensionnelle avec conditions de Signorini. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 334 (2002) no. 11, pp. 983-988. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02399-3. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(02)02399-3/

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