Comptes Rendus
no. 5
Une caractérisation des fonctions holomorphes injectives en analyse ultramétrique
Juan Rivera-Letelier1, 2
1 Departamento de Matemática, Universidad Católica del Norte, Casilla 1280, Antofagasta, Chile
2 Institute for Mathematical Sciences, SUNY, Stony Brook, NY 11794-3651, USA
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 335 (2002) no. 5, pp. 441-446.

On montre qu'une fonction holomorphe non-constante f définie sur un sous-espace analytique de ℂ p est injective si et seulement si on a

f(x)-f(y) x-y 2 =f'(x)·f'(y),pourtoutxetydistincts.
Cette caractérisation démontre l'analogue, pour les fonctions holomorphes, d'une conjecture de A. Escassut et M.C. Sarmant. D'autre part on donne un contre-exemple à cette conjecture, qui concerne les éléments bi-analytiques.

We prove that a non constant holomorphic function f defined over an analytic subspace of ℂ p is injective if and only if

f(x)-f(y) x-y 2 =f'(x)·f'(y),foreverydistinctxandy.
This characterization proves the analogue, for holomorphic functions, of a conjecture of A. Escassut and M.C. Sarmant. On the other hand we give a counter-example to this conjecture, that concerns bi-analytic elements.

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DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02501-3
Juan Rivera-Letelier 1, 2

1 Departamento de Matemática, Universidad Católica del Norte, Casilla 1280, Antofagasta, Chile
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Juan Rivera-Letelier. Une caractérisation des fonctions holomorphes injectives en analyse ultramétrique. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 335 (2002) no. 5, pp. 441-446. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02501-3. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(02)02501-3/

[1] A. Escassut Analytic elements in p-adic analysis, World Scientific, 1995

[2] A. Escassut; M.C. Sarmant Injectivity, Mittag–Leffler series and Motzkin products, Ann. Sci. Math. Québec, Volume 16 (1992), pp. 155-173

[3] J. Fresnel; M. van der Put Géométrie Analytique rigide et applications, PM 18, Birkhäuser, 1981

[4] P. Morton; J. Silverman Periodic points, multiplicities, and dynamical units, J. Reine Agnew. Math., Volume 461 (1995), pp. 81-122

[5] E. Motzkin L'arbre d'un quasi connexe : un invariant conforme p-adique, Groupe d'étude d'analyse ultramétrique, 9eme année 3, 1981/82 (18 p)

[6] J. Rivera-Letelier Dynamique des fonctions rationnelles sur des corps locaux, Thèse, Orsay, 2000

[7] J. Rivera-Letelier, Espace hyperbolique p-adique et dynamique des fonctions rationnelles, Stony Brook IMS preprint # 2001/12, à paraı̂tre dans Compositio Math

[8] J. Rivera-Letelier, Éléments bi-analytiques et isométries partielles de l'espace hyperbolique, Prépublication, 2002

[9] J.C. Yoccoz, Notes d'un cours au Collège de France, 2001/2002

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