$ \mathrm{C}^{\mathrm{1}}$-generic Pesin's entropy formula

Ali Tahzibi

doi:10.1016/S1631-073X(02)02609-2

C^{1}

-generic Pesin's entropy formula
[La formule d'entropie de Pesin C¹-générique]

Ali Tahzibi ¹

¹ Departamento de Matemática, Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo, Campus de São Carlos, Caixa Postal 668, 13560-970 São Carlos SP, Brazil

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 335 (2002) no. 12, pp. 1057-1062.

Résumé
Abstract

L'entropie métrique d'un difféomorphisme C², par rapport à une mesure invariante est égale à la moyenne de la somme des exposants de Lyapunov positifs. Ceci est la célèbre formule d'entropie de Pesin. La régularité du difféomorphisme est essentielle pour la preuve de cette égalité. Nous montrons que en dimension deux, cette égalité est satisfaite pour un difféomorphisme C¹-générique et montrons qu'en particulier nous obtenons un ensemble de difféomorphismes conservatifs contenant strictement ceux qui sont C^1+α , où la formule de Pesin est satisfaite.

The metric entropy of a C²-diffeomorphism with respect to an invariant smooth measure μ is equal to the average of the sum of the positive Lyapunov exponents of μ. This is the celebrated Pesin's entropy formula, h_μ(f)=∫_M∑_{λ_i>0}λ_i. The C² regularity (or C^1+α) of diffeomorphism is essential to the proof of this equality. We show that at least in the two dimensional case this equality is satisfied for a C¹-generic diffeomorphism and in particular we obtain a set of volume preserving diffeomorphisms strictly larger than those which are C^1+α where Pesin's formula holds.

Reçu le : 2002-10-10
Accepté le : 2002-10-25
Publié le : 2002-11-20

DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02609-2

Affiliations des auteurs :

Ali Tahzibi ¹

¹ Departamento de Matemática, Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo, Campus de São Carlos, Caixa Postal 668, 13560-970 São Carlos SP, Brazil

@article{CRMATH_2002__335_12_1057_0,
     author = {Ali Tahzibi},
     title = {$ \mathrm{C}^{\mathrm{1}}$-generic {Pesin's} entropy formula},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {1057--1062},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {335},
     number = {12},
     year = {2002},
     doi = {10.1016/S1631-073X(02)02609-2},
     language = {en},
}

TY  - JOUR
AU  - Ali Tahzibi
TI  - $ \mathrm{C}^{\mathrm{1}}$-generic Pesin's entropy formula
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2002
SP  - 1057
EP  - 1062
VL  - 335
IS  - 12
PB  - Elsevier
DO  - 10.1016/S1631-073X(02)02609-2
LA  - en
ID  - CRMATH_2002__335_12_1057_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Ali Tahzibi
%T $ \mathrm{C}^{\mathrm{1}}$-generic Pesin's entropy formula
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2002
%P 1057-1062
%V 335
%N 12
%I Elsevier
%R 10.1016/S1631-073X(02)02609-2
%G en
%F CRMATH_2002__335_12_1057_0

Ali Tahzibi. $ \mathrm{C}^{\mathrm{1}}$-generic Pesin's entropy formula. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 335 (2002) no. 12, pp. 1057-1062. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02609-2. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(02)02609-2/

Bibliographie
Cité par

[1] J. Bochi, Genericity of zero lyapunov exponents, Preprint, IMPA, 2001

[2] K. Kuratowski Topology, Vol. 1, Academic Press, 1966

[3] F. Ledrappier; L.-S. Young The metric entropy of diffeomorphisms. I. characterization of measures satisfying Pesin's entropy formula, Ann. of Math., Volume 122 (1985), pp. 509-539

[4] E. Zehnder A note on smoothing symplectic and volume preserving diffeomorphims, Lecture Notes in Math., 597, Springer-Verlag, 1977, pp. 828-854

Cité par Sources :

Commentaires - Politique