Comptes Rendus
no. 12
Mapping class group of a non-orientable surface and moduli space of Klein surfaces
[Groupe modulaire d'une surface non-orientable et l'espace des modules des surfaces de Klein]
Błażej Szepietowski1
1 Institute of Mathematics, Gdańsk University, Wita Stwosza 57, 80-952 Gdańsk, Poland
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 335 (2002) no. 12, pp. 1053-1056.

Comme pour les surfaces de Riemann, l'espace des modules des surfaces de Klein fermées, non-orientable et de genre g peut être défini comme l'espace des orbites de l'espace de Teichmüller 𝒯 g sous l'action du groupe modulaire Modg d'une surface fermée, non-orientable. Utilisant l'ensemble de générateurs donné par Birman et Chillingworth nous prouvons que le dernier groupe est engendré par des involutions. On en déduit, utilisant le résultat d'Armstrong, que l'espace des modules est simplement-connexe.

As for Riemann surfaces, the moduli space of closed non-orientable Klein surfaces of genus g can be defined as the orbit space of the Teichmüller space 𝒯 g by the mapping class group Modg of a closed non-orientable surface. Using the set of generators given by Birman and Chillingworth, we prove that the latter group is generated by involutions. We conclude, using the Armstrong's result, that the moduli space is simply-connected.

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DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02617-1
Błażej Szepietowski 1

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Błażej Szepietowski. Mapping class group of a non-orientable surface and moduli space of Klein surfaces. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 335 (2002) no. 12, pp. 1053-1056. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02617-1. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(02)02617-1/

[1] N.L. Alling; N. Greenleaf Foundations of the Theory of Klein Surfaces, Lecture Notes in Math., 219, Springer-Verlag, 1971

[2] M.A. Armstrong The fundamental group of the orbit space of a discontinous group, Proc. Cambridge Philos. Soc., Volume 64 (1968), pp. 299-301

[3] J.S. Birman; D.R. Chillingworth On the homeotopy group of a non-orientable surface, Proc. Cambridge Philos. Soc., Volume 71 (1972), pp. 437-448

[4] W.B.R. Lickorish Homeomorphisms of non-orientable two-manifolds, Proc. Cambridge Philos. Soc., Volume 59 (1963), pp. 307-317

[5] A.M. Macbeth; D. Singerman Spaces of subgroups and Teichmüller space, Proc. London Math. Soc., Volume 31 (1975), pp. 211-256

[6] C. Maclachlan Modulus space is simply-connected, Proc. Amer. Math. Soc., Volume 29 (1971), pp. 185-186

[7] J. McCarthy; A. Papadopoulus Involutions in surface mapping class groups, Enseign. Math., Volume 33 (1987), pp. 275-290

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