Comptes Rendus
Logique
Tournois infinis et critiques
[Critical and infinite tournaments]
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 336 (2003) no. 2, pp. 107-110.

Given a tournament T=(V,A), a subset X of V is an interval of T provided that for every a,bX and xVX, (a,x)∈A if and only if (b,x)∈A. For example, ∅, {x} (xV) and V are intervals of T, called trivial intervals. A tournament all the intervals of which are trivial is called indecomposable; otherwise, it is decomposable. An indecomposable tournament T=(V,A) is then said to be critical if for each xV, T(V−{x}) is decomposable and if there are xyV such that T(V−{x,y}) is indecomposable. We introduce the operation of expansion which allows us to describe a process of construction of critical and infinite tournaments. It follows that, for every critical and infinite tournament T=(V,A), there are xyV such that T and T(V−{x,y}) are isomorphic.

Étant donné un tournoi T=(S,A), une partie X de S est un intervalle de T lorsque pour tous a,bX et xSX, (a,x)∈A si et seulement si (b,x)∈A. Par exemple, ∅, {x} (xS) et S sont des intervalles de T, appelés intervalles triviaux. Un tournoi dont tous les intervalles sont triviaux est dit indécomposable ; sinon, il est décomposable. Un tournoi T=(S,A) indécomposable est alors critique lorsque pour tout xS, T(S−{x}) est décomposable et lorsqu'il existe xyS tels que T(S−{x,y}) est indécomposable. Nous introduisons l'opération d'expansion qui nous permet de décrire un procédé de construction des tournois infinis et critiques. Il en découle que pour tout tournoi T=(S,A) infini et critique, il existe xyS tels que T et T(S−{x,y}) sont isomorphes.

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DOI: 10.1016/S1631-073X(03)00002-5

Imed Boudabbous 1

1 Département des méthodes quantitatives, Faculté des sciences économiques et de gestion de Sfax, BP 1088, Université de Sfax, 3018 Sfax, Tunisie
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Imed Boudabbous. Tournois infinis et critiques. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 336 (2003) no. 2, pp. 107-110. doi : 10.1016/S1631-073X(03)00002-5. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(03)00002-5/

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