[Nombres de Betti virtuels des variétés algébriques réelles]
On montre que pour tout entier positif i le i-ième nombre de Betti de la cohomologie à coefficients dans des variétés algébriques réelles compactes nonsingulières admet une unique extension en un nombre de Betti virtuel βi, défini pour toute variété algébrique réelle, telle que pour une sous-variété fermée Y⊂X, βi(X)=βi(X⧹Y)+βi(Y). On donne un exemple qui montre qu'il n'existe pas de filtration par le poids naturelle sur la cohomologie à coefficients dans des variétés algébriques réelles telle que les nombres de Betti virtuels soient les caractéristiques d'Euler par le poids associées à cette filtration.
We show that for all i⩾0 the i-th mod 2 Betti number of compact nonsingular real algebraic varieties has a unique extension to a virtual Betti number βi defined for all real algebraic varieties, such that if Y is a closed subvariety of X then βi(X)=βi(X⧹Y)+βi(Y). We show by example that there is no natural weight filtration on the -cohomology of real algebraic varieties with compact supports such that the virtual Betti numbers are the weighted Euler characteristics.
Accepté le :
Publié le :
Clint McCrory 1 ; Adam Parusiński 2
@article{CRMATH_2003__336_9_763_0, author = {Clint McCrory and Adam Parusi\'nski}, title = {Virtual {Betti} numbers of real algebraic varieties}, journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique}, pages = {763--768}, publisher = {Elsevier}, volume = {336}, number = {9}, year = {2003}, doi = {10.1016/S1631-073X(03)00168-7}, language = {en}, }
Clint McCrory; Adam Parusiński. Virtual Betti numbers of real algebraic varieties. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 336 (2003) no. 9, pp. 763-768. doi : 10.1016/S1631-073X(03)00168-7. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(03)00168-7/
[1] Torification and factorization of birational maps, J. Amer. Math. Soc., Volume 15 (2002), pp. 531-572
[2] F. Bittner, The universal Euler characteristic for varieties of characteristic zero, Compositio Math., to appear
[3] Real Algebraic Geometry, Springer-Verlag, Berlin, 1998
[4] Poids dans la cohomologie des varietés algébriques, Proc. ICM, Vancouver, 1974, pp. 79-85
[5] Geometry of arc spaces of algebraic varieties, Eur. Cong. Math., Volume 1 (2001), pp. 325-348
[6] Descent, motives, and K-theory, J. Reine Angew. Math., Volume 478 (1996), pp. 127-176
[7] Topologie Algébrique et Théorie des Faisceaux, Hermann, Paris, 1964
[8] Un critère d'extension des foncteurs définis sur les schémas lisses, Publ. Math. IHES, Volume 95 (2002), pp. 1-91
[9] M. Kontsevich, Lecture at Orsay, December 7, 1995
[10] Motivic measures, Sém. Bourbaki 874, March 2000, Astérisque, Volume 276 (2002), pp. 267-297
[11] Espace des germes d'arcs réels et série de Poincaré d'un ensemble semi-algébrique, Ann. Inst. Fourier, Volume 51 (2001), pp. 43-67
[12] Topology of singular algebraic varieties, Proc. ICM, Beijing, Vol. 1, 2002, pp. 533-541
Cité par Sources :
Commentaires - Politique