Comptes Rendus
no. 9
Algebraic Geometry
Virtual Betti numbers of real algebraic varieties
[Nombres de Betti virtuels des variétés algébriques réelles]

Présenté par : Bernard Malgrange

Clint McCrory1 ; Adam Parusiński2
1 Mathematics Department, University of Georgia, Athens, GA 30602, USA
2 Département de mathématiques, Université d'Angers, 2, bd Lavoisier, 49045 Angers cedex, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 336 (2003) no. 9, pp. 763-768.

On montre que pour tout entier positif i le i-ième nombre de Betti de la cohomologie à coefficients dans ℤ 2 des variétés algébriques réelles compactes nonsingulières admet une unique extension en un nombre de Betti virtuel βi, défini pour toute variété algébrique réelle, telle que pour une sous-variété fermée Y⊂X, βi(X)=βi(X⧹Y)+βi(Y). On donne un exemple qui montre qu'il n'existe pas de filtration par le poids naturelle sur la cohomologie à coefficients dans ℤ 2 des variétés algébriques réelles telle que les nombres de Betti virtuels soient les caractéristiques d'Euler par le poids associées à cette filtration.

We show that for all i⩾0 the i-th mod 2 Betti number of compact nonsingular real algebraic varieties has a unique extension to a virtual Betti number βi defined for all real algebraic varieties, such that if Y is a closed subvariety of X then βi(X)=βi(X⧹Y)+βi(Y). We show by example that there is no natural weight filtration on the ℤ 2 -cohomology of real algebraic varieties with compact supports such that the virtual Betti numbers are the weighted Euler characteristics.

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DOI : 10.1016/S1631-073X(03)00168-7
Clint McCrory 1 ; Adam Parusiński 2

1 Mathematics Department, University of Georgia, Athens, GA 30602, USA
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Clint McCrory; Adam Parusiński. Virtual Betti numbers of real algebraic varieties. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 336 (2003) no. 9, pp. 763-768. doi : 10.1016/S1631-073X(03)00168-7. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(03)00168-7/

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