Comptes Rendus
no. 11
Dynamical Systems
On the cohomological equation for interval exchange maps
[Sur l'équation cohomologique pour les échanges d'intervalles]

Présenté par : Étienne Ghys

Stefano Marmi1, 2 ; Pierre Moussa3 ; Jean-Christophe Yoccoz4
1 Dipartimento di Matematica e Informatica, Università di Udine, Via delle Scienze 206, Loc. Rizzi, 33100 Udine, Italy
2 Scuola Normale Superiore, Piazza dei Cavalieri 7, Pisa, Italy
3 Service de physique théorique, CEA/Saclay, 91191 Gif-Sur-Yvette, France
4 Collège de France, 3, rue d'Ulm, 75005 Paris, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 336 (2003) no. 11, pp. 941-948.

On présente une classe explicite d'échanges d'intervalles T, de mesure pleine, pour laquelle l'équation cohomologique Ψ−Ψ∘T=Φ admet une solution bornée Ψ, à condition que la donnée Φ appartienne à un sous-espace de codimension finie de l'espace des fonctions dont la dérivée sur chaque intervalle est de variation bornée.

Cette classe est définie par une condition diophantienne « de type Roth » exprimé dans une variante du développement en fraction continue de Rauzy–Veech–Zorich associé à T.

We exhibit an explicit full measure class of minimal interval exchange maps T for which the cohomological equation Ψ−Ψ∘T=Φ has a bounded solution Ψ provided that the datum Φ belongs to a finite codimension subspace of the space of functions having on each interval a derivative of bounded variation.

The class of interval exchange maps is characterized in terms of a diophantine condition of “Roth type” imposed to an acceleration of the Rauzy–Veech–Zorich continued fraction expansion associated to T.

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DOI : 10.1016/S1631-073X(03)00222-X
Stefano Marmi 1, 2 ; Pierre Moussa 3 ; Jean-Christophe Yoccoz 4

1 Dipartimento di Matematica e Informatica, Università di Udine, Via delle Scienze 206, Loc. Rizzi, 33100 Udine, Italy
2 Scuola Normale Superiore, Piazza dei Cavalieri 7, Pisa, Italy
3 Service de physique théorique, CEA/Saclay, 91191 Gif-Sur-Yvette, France
4 Collège de France, 3, rue d'Ulm, 75005 Paris, France 
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Stefano Marmi; Pierre Moussa; Jean-Christophe Yoccoz. On the cohomological equation for interval exchange maps. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 336 (2003) no. 11, pp. 941-948. doi : 10.1016/S1631-073X(03)00222-X. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(03)00222-X/

[1] G. Forni Solutions of the cohomological equation for area-preserving flows on compact surfaces of higher genus, Ann. of Math., Volume 146 (1997), pp. 295-344

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[11] A. Zorich Deviation for interval exchange transformations, Ergodic Theory Dynamical Systems, Volume 17 (1997), pp. 1477-1499

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