Comptes Rendus
no. 11
Probabilités/Analyse fonctionnelle
Sous-dualités et noyaux (reproduisants) associés

Présenté par : Paul Deheuvels

Xavier Mary1 ; Denis De Brucq2 ; Stephane Canu1
1 INSA Rouen, BP 08, avenue de l'université, 76801 Saint-Étienne-du-Rouvray cedex, France
2 Université de Rouen, 1, rue Thomas Becket, 76821 Mont Saint Aignan, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 336 (2003) no. 11, pp. 949-954.

Une manière d'aborder l'étude des mesures non gaussiennes consiste à généraliser la théorie des sous-espaces hilbertiens de L. Schwartz au cas non hilbertien. Nous initions ici une nouvelle théorie non plus basée sur une structure hilbertienne, mais sur une certaine dualité. Nous développons ainsi le concept de sous-dualité d'un espace vectoriel localement convexe et de son noyau associé. Nous montrons en particulier qu'à toute sous-dualité peut être associé un unique noyau dont l'image est dense dans la sous-dualité. L'image d'une sous-dualité par une application linéaire faiblement continue est également étudiée, ce qui permet de définir sur l'ensemble des sous-dualités une structure d'espace vectoriel moyennant une relation d'équivalence. Nous exhibons alors un représentant canonique. Enfin, nous étudions le cas particulier des sous-dualités de 𝕂 Ω muni de la topologie produit.

A way to study non-Gaussian measures is to generalize Schwartz's theory of Hilbertian subspaces to the non-Hilbertian case. We initiate here a new theory based upon a given duality rather than an Hilbertian structure. Hence, we develop the concept of subduality of a locally convex vector space and of its associated kernel. We show in particular that to any subduality is associated a unique kernel whose image is dense in the subduality. The image of a subdality under a weakly continuous linear application is also given, which enables the definition of a vector space structure over the set of subdualities given a equivalence relation. We then exhibit a canonical representative. Finally, we study the particular case of subdualities of 𝕂 Ω endowed with the product topology.

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DOI : 10.1016/S1631-073X(03)00230-9
Xavier Mary 1 ; Denis De Brucq 2 ; Stephane Canu 1

1 INSA Rouen, BP 08, avenue de l'université, 76801 Saint-Étienne-du-Rouvray cedex, France
2 Université de Rouen, 1, rue Thomas Becket, 76821 Mont Saint Aignan, France 
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Xavier Mary; Denis De Brucq; Stephane Canu. Sous-dualités et noyaux (reproduisants) associés. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 336 (2003) no. 11, pp. 949-954. doi : 10.1016/S1631-073X(03)00230-9. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(03)00230-9/

[1] D. Alpay On linear combinations of positive functions, associated reproducing kernel spaces and a non-Hermitian Schur algorithm, Arch. Math., Volume 58 (1982), pp. 174-182

[2] N. Aronszajn Quadratic forms on vector spaces, Proc. Internat. Sympos. Linear Spaces, Jerusalem, 1960, pp. 29-87

[3] A. Grothendieck Espaces Vectoriels Topologiques, Publicaçao da Sociedade de Matematica de Sao Paulo, 1964

[4] L. Schwartz Sous espaces hilbertiens d'espaces vectoriels topologiques et noyaux associés, J. Anal. Math., Volume 13 (1964), pp. 115-256

[5] L. Schwartz Radon Measures on Arbitrary Topological Spaces and Cylindrical Measures, Oxford University Press, 1973

[6] H. Triebel Theory of Function Spaces, Monographs Math., 78, Birkhäuser, Boston, 1983

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