Comptes Rendus
no. 12
Équations aux dérivées partielles
Une estimation de type Aronson–Bénilan

Présenté par : Haı̈m Brezis

Emmanuel Chasseigne1
1 Université de Tours, parc de Grandmont, 37200 Tours, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 336 (2003) no. 12, pp. 991-996.

Nous considérons l'équation ut=Δϕ(u), où ϕ∈C3(0,∞) est croissante. Sous l'hypothèse ν·sϕ″(s)/ϕ′(s)⩾γ pour un γ>0 et ν∈{−1;1}, nous montrons l'estimation ν·du/dt⩾−u/γt. Ce résultat améliore les estimations donnée par M.G. Crandall et M. Pierre (dans J. Funct. Anal. 45 (1982) 194–212) pour cette équation.

We consider the equation ut=Δϕ(u), where ϕ∈C3(0,∞) is increasing. Under the condition ν·sϕ″(s)/ϕ′(s)⩾γ for some γ>0 and ν∈{−1;1}, we prove the estimate ν·du/dt⩾−u/γt. This result improves the estimates given by M.G. Crandall and M. Pierre (in J. Funct. Anal. 45 (1982) 194–212) for this equation.

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DOI : 10.1016/S1631-073X(03)00255-3
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Emmanuel Chasseigne. Une estimation de type Aronson–Bénilan. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 336 (2003) no. 12, pp. 991-996. doi : 10.1016/S1631-073X(03)00255-3. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(03)00255-3/

[1] D.G. Aronson; P. Bénilan Régularité des solutions de l'équation des milieux poreux dans ℝ N , C. R. Acad. Sci. Paris, Volume 288 (1979), pp. 103-105

[2] M.G. Crandall; M. Pierre Regularizing effects for ut=Δϕ(u), Trans. Amer. Math. Soc., Volume 274 (1982), pp. 159-168

[3] M.G. Crandall; M. Pierre Regularizing effects for ut=Aϕ(u) in L1, J. Funct. Anal., Volume 45 (1982), pp. 194-212

[4] O.A. Ladyzhenskaja; V.A. Solonnikov; N.N. Uralceva Linear and Quasilinear Equations of Parabolic Type, Amer. Math. Soc. Transl., 23, 1968

[5] L.A. Peletier, The porous media equation, Applications of nonlinear analysis in the physical sciences, Pap. Workshop, Bielefeld 1979, 1981, pp. 229–241

[6] J.L. Vazquez Nonexistence of solutions for nonlinear heat equations of fast-diffusion type, J. Math. Pures Appl., Volume 71 (1992), pp. 503-526

[7] J.L. Vazquez An introduction to the mathematical theory of the porous medium equation, Shape Optimization and free Boundaries, Proc. NATO ASI, Sémin. Math. Supér., Montréal/Canada 1990, NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C, 380, 1992, pp. 347-389

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