Comptes Rendus
no. 7
Problèmes mathématiques de la mécanique
Homogénéisation d'un matériau élastique renforcé de fibres très rigides : effets non locaux

Présenté par : Philippe G. Ciarlet

Michel Bellieud1 ; Isabelle Gruais2
1 UFR science, Université de Perpignan, 52, av. de Villeneuve, 66860 Perpignan cedex, France
2 Université de Rennes 1, I.R.M.A.R, campus de Beaulieu, 35042 Rennes cedex, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 337 (2003) no. 7, pp. 493-498.

Nous étudions l'homogénéisation de problèmes élastiques du type :

- div (σ ϵ (u ϵ ))=f dans Ω+ conditions limites ,σ ϵ (u ϵ )=λ ϵ tr (e(u ϵ ))I+2μ ϵ e(u ϵ ),e(u ϵ )=1 2(∇u ϵ + t ∇u ϵ ),
lorsque les coefficients d'élasticité λε, με, périodiques de période ε, prennent des valeurs d'ordres de grandeur très élevés sur un sous-ensemble Tε de Ω (structure composée de fibres) dont la mesure tend simultanément vers 0. Nous obtenons des lois effectives non locales déduites d'un système couplé d'équations aux dérivées partielles.

We study the homogenization of elasticity problems like

- div (σ ϵ (u ϵ ))=f in Ω+ boundary conditions ,σ ϵ (u ϵ )=λ ϵ tr (e(u ϵ ))I+2μ ϵ e(u ϵ ),e(u ϵ )=1 2(∇u ϵ + t ∇u ϵ ),
when the Lamé coefficients λε, με are ε-periodic and take very high values on a subset T ϵ ⊂Ω (fibered structure) the measure of which tends to 0. We find a nonlocal effective equation deduced from an homogenized system of several equations.

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DOI : 10.1016/j.crma.2003.08.007
Michel Bellieud 1 ; Isabelle Gruais 2

1 UFR science, Université de Perpignan, 52, av. de Villeneuve, 66860 Perpignan cedex, France
2 Université de Rennes 1, I.R.M.A.R, campus de Beaulieu, 35042 Rennes cedex, France 
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Michel Bellieud; Isabelle Gruais. Homogénéisation d'un matériau élastique renforcé de fibres très rigides : effets non locaux. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 337 (2003) no. 7, pp. 493-498. doi : 10.1016/j.crma.2003.08.007. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2003.08.007/

[1] M. Bellieud; G. Bouchitté Homogenization of elliptic problems in a fiber reinforced structure. Nonlocal effects, Ann. Scuola Norm. Sup. Cl. Sci. IV, Volume 26 (1998), pp. 407-436

[2] M. Bellieud; G. Bouchitté Homogenization of a soft elastic material reinforced by fibers, Asymptotic Anal., Volume 32 (2002) no. 2, pp. 153-183

[3] M. Bellieud Homogénéisation de problèmes d'évolution dans une structure renforcée de fibres, C. R. Mécanique, Volume 330 (2002) no. 12, pp. 843-848

[4] M. Bellieud, I. Gruais, Homogenization of an elastic material reinforced by very rigid fibers. Nonlocal effects, Preprint, Laboratoire M.A.N.O., Université de Perpignan, 2003

[5] M. Camar-Eddine, P. Seppecher, Determination of the closure of the set of elasticity functionals, Preprint Anla 2002-2, Univ. de Toulon, Arch. Rational Mech. Anal., in press

[6] E.Y. Khruslov Homogenized Models of Composite Media, Progr. Nonlinear Differential Equations Appl., Birkhäuser, 1991

[7] U. Mosco Composite media and asymptotic Dirichlet forms, J. Funct. Anal., Volume 123 (1994), pp. 368-421

[8] C. Pideri; P. Seppecher A second gradient material resulting from the homogenization of an heterogeneous linear elastic medium, Contin. Mech. Thermodyn., Volume 9 (1997), pp. 241-257

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