Normalisation d'un processus de branchement critique dans un environnement aléatoire

Yves Guivarc'h; Emile Le Page; Quansheng Liu

doi:10.1016/j.crma.2003.08.011

Probabilités

Normalisation d'un processus de branchement critique dans un environnement aléatoire
[Normalization of a critical branching process in a random environment]

Presented by: Jean-Pierre Kahane

Yves Guivarc'h ¹; Emile Le Page ²; Quansheng Liu ²

¹ IRMAR, Université de Rennes I, campus de Beaulieu, 35042 Rennes, France
² L.M.A.M., Université de Bretagne Sud, campus de Tohannic, BP 573, 56017 Vannes, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 337 (2003) no. 9, pp. 603-608.

Abstract
Résumé

Let (Z_n) be a critical branching process in an independent and identically distributed (i.i.d.) random environment. For each fixed environment ω, let C_n=E^ω[Z_n∣Z_n>0] be the conditional expectation of Z_n given Z_n>0. We prove an analogue of Yaglom's law: as n→∞, the conditional law of Z_n/C_n, conditional on Z_n>0, converges to a non-degenerate law on [0,∞). We give also an analogue of Kolmogorov's law, as well as a local limit theorem for the semi-group of probability generating functions.

Soit (Z_n) un processus de branchement critique dans un environnement aléatoire indépendant et identiquement distribué (i.i.d.). Soit C_n=E^ω[Z_n∣Z_n>0] l'espérance conditionnelle de Z_n sachant Z_n>0, pour un environnement ω fixé. Nous montrons l'analogue de la loi de Yaglom : lorsque n→∞, la loi conditionnelle de Z_n/C_n, sachant Z_n>0, converge vers une loi non-dégénérée sur [0,∞[. Nous établissons aussi l'analogue de la loi de Kolmogorov, ainsi qu'un théorème de limite locale pour le semi-groupe des fonctions génératrices de probabilités.

Received: 2003-07-21
Accepted: 2003-08-30
Published online: 2003-10-23

DOI: 10.1016/j.crma.2003.08.011

Author's affiliations:

Yves Guivarc'h ¹; Emile Le Page ²; Quansheng Liu ²

¹ IRMAR, Université de Rennes I, campus de Beaulieu, 35042 Rennes, France
² L.M.A.M., Université de Bretagne Sud, campus de Tohannic, BP 573, 56017 Vannes, France

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Yves Guivarc'h; Emile Le Page; Quansheng Liu. Normalisation d'un processus de branchement critique dans un environnement aléatoire. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 337 (2003) no. 9, pp. 603-608. doi : 10.1016/j.crma.2003.08.011. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2003.08.011/

References
Cited by

[1] A. Agresti On the extinction times of varying and random environment branching processes, J. Appl. Probab., Volume 12 (1975), pp. 39-46

[2] K.B. Athreya; S. Karlin Branching processes with random environments (I & II), Ann. Math. Statist., Volume 42 (1971), pp. 1499-1520 (1843–1858)

[3] K.B. Athreya; P.E. Ney Branching Processes, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1972

[4] M. Babillot; P. Bougerol; L. Elie The random difference equation X_n=A_nX_n−1+B_n in the critical case, Ann. Probab., Volume 25 (1997) no. 1, pp. 478-493

[5] J. Geiger; G. Kersting The survival probability of a critical branching process in random environment, Teor. Verojatnost. i Primenen., Volume 45 (2000), pp. 607-615

[6] J. Geiger, G. Kersting, V.A. Vatutin, Limit theorems for branching processes in random environment, Preprint, 2001

[7] Y. Guivarc'h; Q. Liu Propriétés asymptotiques des processus de branchement en environnement aléatoire, C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. I, Volume 332 (2001), pp. 339-344

[8] Y. Guivarc'h, E. Le Page, Q. Liu, Branching processes in random environments and local limit theorems for random walks, Preprint, 2001

[9] M.V. Kozlov On the asymptotic behaviour of the probability of non-extinction for critical branching processes in a random environment, Theory Probab. Appl., Volume 21 (1976) no. 4, pp. 742-751

[10] E. Le Page; M. Peigné A local limit theorem on the semi-direct product of $R *^{+}$ and R^d, Ann. Inst. Henri Poincaré, Volume 33 (1997), pp. 223-252

[11] W.L. Smith; W.E. Wilkinson On branching processes in random environments, Ann. Math. Statist., Volume 40 (1969), pp. 814-827

Cited by Sources:

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