The spectral order on induces a partial ordering on the manifold of monic hyperbolic polynomials of degree n. We show that the semigroup generated by differential operators of the form , , acts on the poset in an order-preserving fashion. We also show that polynomials in are global minima of their respective -orbits and we conjecture that a similar result holds even for complex polynomials. Finally, we show that only those pencils of polynomials in which are of logarithmic derivative type satisfy a certain local minimum property for the spectral order.
L'ordre spectral sur induit un ordre partiel sur la variété des polynômes hyperboliques de degré n dont le coefficient dominant est égal à un. On montre que cet ordre est préservé par l'action sur du semigroupe engendré par les opérateurs différentiels du type , On démontre aussi que tout polynôme de est le minimum global de son -orbite et on propose une conjecture selon laquelle un résultat similaire serait valable dans le cas des polynômes à coefficients complexes. On montre enfin que de tous les faisceaux de polynômes dans , seulement ceux qui sont associés aux dérivées logarithmiques satisfont une certaine propriété de minimum local pour l'ordre spectral.
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Julius Borcea 1; Boris Shapiro 1
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Julius Borcea; Boris Shapiro. Hyperbolic polynomials and spectral order. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 337 (2003) no. 11, pp. 693-698. doi : 10.1016/j.crma.2003.10.007. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2003.10.007/
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[5] On a theorem of Hardy, Littlewood, Pólya, and Blackwell, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, Volume 37 (1951), pp. 826-831
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