Differentiability of the <i>L</i><sup>1</sup>-tracking functional linked to the Robin inverse problem

S. Chaabane; J. Ferchichi; K. Kunisch

doi:10.1016/j.crma.2003.10.023

Optimal Control

Differentiability of the L¹-tracking functional linked to the Robin inverse problem
[Différentiabilité d'une L¹ fonctionnelle écart liée au problème inverse de Robin]

Présenté par : Gilles Lebeau

S. Chaabane ^1,^2,³ ; J. Ferchichi ^3,⁴ ; K. Kunisch ³

¹ ENIT-LAMSIN, campus Universitaire, BP 37, 1002 Tunis, Tunisia
² Faculté des sciences de Sfax, 3038, Sfax, Tunisia
³ Department of Mathematics, University of Graz, Austria
⁴ Faculté des sciences de Monastir, Monastir, Tunisia

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 337 (2003) no. 12, pp. 771-776.

Résumé
Abstract

On s'intéresse dans ce travail à l'étude d'un problème inverse d'identification du coefficient de Robin ϕ_inv par la mesure du potentiel électrostatique f sur une surface de mesure M du bord accessible dans le cas 2D. Après avoir prouvé un résultat d'identifiabilité, on transforme ce problème inverse en un problème d'optimisation dans un cas non standard : la fonction coût $ℱ$ modélise l'écart L¹ entre la solution u_ϕ du problème direct de Robin et les mesures f sur M. L'avantage de cette méthode est qu'elle est plus robuste au bruit que celle du moindre-carré (Huber, 1969). Après avoir prouvé quelques propriétés de positivité, de monotonicité et de contrôle de la dérivée u¹_ϕ de l'état, on démontre en utilisant des outils d'analyse complexe que la fonctionnelle $ℱ$ est différentiable bien qu'on travaille avec la norme L¹.

We investigate the inverse problem of identifying the Robin parameter ϕ_inv by measuring the electrostatic potential f on a part M of the accessible boundary of a two-dimesional domain. After proving an identifiability result, the inverse problem is formulated as an optimization problem in a non-standard way: the cost functional $ℱ$ measures L¹-gap between the solution u_ϕ of the direct Robin problem and the measurement f on M, and thus it is more robust against outliniers than least-squares formulations (Huber, 1969). Positivity, monotonicity and control properties of the state derivative u¹_ϕ are proved. Tools of complex analysis allow differentiability of $ℱ$ in spite of the fact that we work with the L¹-norm.

Reçu le : 2003-10-02
Accepté le : 2003-10-13
Publié le : 2003-11-14

DOI : 10.1016/j.crma.2003.10.023

Affiliations des auteurs :

S. Chaabane ^{1, 2, 3} ; J. Ferchichi ^{3, 4} ; K. Kunisch ³

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TY  - JOUR
AU  - S. Chaabane
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S. Chaabane; J. Ferchichi; K. Kunisch. Differentiability of the L¹-tracking functional linked to the Robin inverse problem. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 337 (2003) no. 12, pp. 771-776. doi : 10.1016/j.crma.2003.10.023. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2003.10.023/

Bibliographie
Cité par

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