An analogue for elliptic curves of the Grunwald–Wang example

Roberto Dvornicich; Umberto Zannier

doi:10.1016/j.crma.2003.10.034

Algebraic Geometry/Group Theory

An analogue for elliptic curves of the Grunwald–Wang example
[Un analogue pour les courbes elliptiques de l'exemple de Grunwald–Wang]

Présenté par : Jean-Pierre Serre

Roberto Dvornicich ¹ ; Umberto Zannier ²

¹ Dipartimento di Matematica, Università di Pisa, via Buonarroti, 2, 56127 Pisa, Italy
² Istituto Universitario di Architettura D.C.A. S.Croce, 191 (Tolentini), 30135 Venezia, Italy

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 338 (2004) no. 1, pp. 47-50.

Résumé
Abstract

Nous donnons des exemples de courbes elliptiques $ℰ / ℚ$ et de points rationnels $P \in ℰ (ℚ)$ tels que P soit divisible par 4 dans $ℰ (ℚ_{v})$ pour tout place rationnelle v, sans que P soit divisible par 4 dans $ℰ (ℚ)$ . Il s'agit d'un analogue d'un exemple bien connu, avec $𝔾_{m}$ à la place de $ℰ$ : on sait que, dans $ℚ^{*} = 𝔾_{m} (ℚ)$ , P=16 est localement une puissance 8-ième presque partout, mais P n'est pas une puissance 8-ième globalement.

We give examples of elliptic curves $ℰ / ℚ$ and rational points $P \in ℰ (ℚ)$ such that P is divisible by 4 in $ℰ (ℚ_{v})$ for each rational place v but P is not divisible by 4 in $ℰ (ℚ)$ . This is an analogue of a well-known example, with $𝔾_{m}$ in place of $ℰ$ : namely, P=16 is a rational 8-th power locally almost everywhere, but not globally in $ℚ^{*} = 𝔾_{m} (ℚ)$ .

Reçu le : 2003-04-30
Accepté le : 2003-10-21
Publié le : 2003-12-09

DOI : 10.1016/j.crma.2003.10.034

Affiliations des auteurs :

Roberto Dvornicich ¹ ; Umberto Zannier ²

¹ Dipartimento di Matematica, Università di Pisa, via Buonarroti, 2, 56127 Pisa, Italy
² Istituto Universitario di Architettura D.C.A. S.Croce, 191 (Tolentini), 30135 Venezia, Italy

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Roberto Dvornicich; Umberto Zannier. An analogue for elliptic curves of the Grunwald–Wang example. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 338 (2004) no. 1, pp. 47-50. doi : 10.1016/j.crma.2003.10.034. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2003.10.034/

Bibliographie
Cité par

[1] E. Artin; J. Tate Class Field Theory, Benjamin, Reading, MA, 1967

[2] R. Dvornicich; U. Zannier Local-global divisibility of rational points in some commutative algebraic groups, Bull. Soc. Math. France, Volume 129 (2001), pp. 317-338

[3] H. Flanders Generalization of a theorem of Ankeny and Rogers, Ann. Math., Volume 57 (1953) no. 2, pp. 392-400

[4] J.-P. Serre Propriétés galoisiennes des points d'ordre fini des courbes elliptiques, Invent. Math., Volume 15 (1972), pp. 259-331

[5] E. Trost Zur Theorie der Potenzreste, Nieuw Archief voor Wiskunde, Volume 18 (1934) no. 2, pp. 58-61

[6] S. Wong Power residues on Abelian varieties, Manuscripta Math., Volume 102 (2000), pp. 129-137

Cité par Sources :

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