Comptes Rendus
no. 5
Partial Differential Equations/Optimal Control
Remarks on exact controllability for Stokes and Navier–Stokes systems
[Remarques sur la contrôlabilité exacte des systèmes de Stokes et Navier–Stokes]

Présenté par : Pierre-Louis Lions

Enrique Fernández-Cara1 ; Sergio Guerrero1 ; Oleg Yurievich Imanuvilov2 ; Jean-Pierre Puel3
1 Dpto. E.D.A.N., Universidad de Sevilla, Aptdo. 1160, 41080 Sevilla, Spain
2 Department of Mathematics, Iowa State University, 400 Carver Hall, Ames, IA 50011-2064, USA
3 Laboratoire de mathématiques appliquées, Université de Versailles-St-Quentin, 45, avenue des États Unis, 78035 Versailles, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 338 (2004) no. 5, pp. 375-380.

Cette Note concerne la contrôlabilité des systèmes de Stokes et Navier–Stokes avec contrôles distribués pour lesquels les supports sont éventuellement petits. On présente d'abord une nouvelle inégalité globale de Carleman pour les solutions d'un problème de type Stokes. On en déduit la contrôlabilité exacte à zéro en tout temps T>0. Ensuite, on présente un résultat local de contrôlabilité exacte sur les trajectoires pour le système de Navier–Stokes.

This Note deals with the controllability of Stokes and Navier–Stokes systems with distributed controls with support in possibly small subdomains. We first present a new global Carleman inequality for the solutions to Stokes-like systems that leads to the null controllability at any time T>0. Then, we present a local result concerning exact controllability to trajectories of the Navier–Stokes system.

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DOI : 10.1016/j.crma.2003.12.016
Enrique Fernández-Cara 1 ; Sergio Guerrero 1 ; Oleg Yurievich Imanuvilov 2 ; Jean-Pierre Puel 3

1 Dpto. E.D.A.N., Universidad de Sevilla, Aptdo. 1160, 41080 Sevilla, Spain
2 Department of Mathematics, Iowa State University, 400 Carver Hall, Ames, IA 50011-2064, USA
3 Laboratoire de mathématiques appliquées, Université de Versailles-St-Quentin, 45, avenue des États Unis, 78035 Versailles, France 
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Enrique Fernández-Cara; Sergio Guerrero; Oleg Yurievich Imanuvilov; Jean-Pierre Puel. Remarks on exact controllability for Stokes and Navier–Stokes systems. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 338 (2004) no. 5, pp. 375-380. doi : 10.1016/j.crma.2003.12.016. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2003.12.016/

[1] V.M. Alekseev; V.M. Tikhomirov; S.V. Fomin Optimal Control, Consultants Bureau, New York, 1987 (Translated from the Russian by V.M. Volosov)

[2] E. Fernández-Cara, S. Guerrero, Global Carleman inequalities for parabolic systems and applications to null controllability, in press

[3] A. Fursikov; O.Yu. Imanuvilov Controllability of Evolution Equations, Lecture Notes, vol. 34, Seoul National University, Korea, 1996

[4] Y. Giga; H. Sohr Abstract Lp estimates for the Cauchy problem with applications to the Navier–Stokes equations in exterior domains, J. Funct. Anal., Volume 102 (1991), pp. 72-94

[5] O.Yu. Imanuvilov Controllability of parabolic equations, Math. Sb., Volume 186 (1995) no. 6, pp. 109-132 (in Russian)

[6] O.Yu. Imanuvilov Remarks on exact controllability for the Navier–Stokes equations, ESAIM: Control Optim. Calc. Var., Volume 6 (2001), pp. 39-72

[7] O.Yu. Imanuvilov; J.P. Puel Global Carleman estimates for weak elliptic nonhomogeneous Dirichlet problem, Int. Math. Res. Notices, Volume 16 (2003), pp. 883-913

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