Estimées Ck pour l'équation $ \overline{\partial }_{b}$ sur un convexe de type fini de $ \mathbb{C}^{n}$

William Alexandre

doi:10.1016/j.crma.2004.01.005

Analyse complexe

Estimées C^k pour l'équation

{\bar{\partial}}_{b}

sur un convexe de type fini de

ℂ^{n}

Présenté par : Jean-Pierre Demailly

William Alexandre ¹

¹ Université du Littoral Côte d'Opale, centre universitaire de la mi-voix, maison de la recherche Blaise Pascal, 50, rue F. Buisson, BP 699, 62228 Calais cedex, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 338 (2004) no. 5, pp. 365-368.

Résumé
Abstract

Soit $q = 1, ..., n - 1, D \subset ℂ^{n}$ un domaine convexe, borné et de type fini m. Grâce à la fonction de support de Diederich–Fornæss et à l'estimation de ses dérivées avec les bases ε-extrémales, nous montrons l'existence et la continuité de deux opérateurs $T_{q} : C_{0, q}^{p} (bD) \to C_{0, q - 1}^{p + 1 / m} (bD)$ et ${\tilde{T}}_{q} : C_{0, q}^{p} (bD) \to C_{0, q - 1}^{p + 1 / m} (bD)$ , $p \in ℕ$ , tels que pour toute (0,q)-forme h continue sur $bD, h = {\bar{\partial}}_{b} (T_{q} - {\tilde{T}}_{q}) h + (T_{q + 1} - {\tilde{T}}_{q + 1}) {\bar{\partial}}_{b} h$ dès que ${\bar{\partial}}_{b} h$ est aussi continue, et lorsque $q = n - 1, \int_{b D} h \land ϕ = 0$ pour tout φ∈C^∞_n,0(bD) ${\bar{\partial}}_{b}$ -fermée. Afin d'établir la continuité de T_q pour les p>0, il faudra intégrer par parties et montrer de bonnes estimées des dérivées tangentielles du noyau. Quant à ${\tilde{T}}_{q}$ , la composante normale en z du noyau ayant un mauvais comportement, nous devrons l'isoler des composantes tangentielles afin de trouver un bon représentant de la classe d'équivalence, puis encore intégrer par parties.

Let q=1,…,n−1 and D be a bounded convex domain in $ℂ^{n}$ of finite type m. We construct two integral operators T_q and ${\tilde{T}}_{q}$ such that for all $p \in ℕ, T_{q}, {\tilde{T}}_{q} : C_{0, q}^{p} (bD) \to C_{0, q - 1}^{p + 1 / m} (bD)$ are continuous, and for all (0,q)-forms h continuous on bD with ${\bar{\partial}}_{b} h$ continuous on bD too, with the additional hypothesis when q=n−1 that ∫_bDh∧φ=0 for all φ∈C^∞_n,0(bD) ${\bar{\partial}}_{b}$ -fermée, we show $h = {\bar{\partial}}_{b} (T_{q} - {\tilde{T}}_{q}) h + (T_{q + 1} - {\tilde{T}}_{q + 1}) {\bar{\partial}}_{b} h$ . For this construction, we use the Diederich–Fornæss support function of Alexandre (Publ. IRMA Lille 54 (III) (2001)). To prove the continuity of T_q, we integrate by parts and take care of the tangential derivatives. The normal component in z of the kernel of ${\tilde{T}}_{q}$ will have a bad behaviour, so, in order to find a good representative of its equivalence class, we isolate the tangential component of the kernel and then integrate by parts again.

Reçu le : 2003-06-05
Accepté le : 2004-01-07
Publié le : 2004-02-06

DOI : 10.1016/j.crma.2004.01.005

Affiliations des auteurs :

William Alexandre ¹

¹ Université du Littoral Côte d'Opale, centre universitaire de la mi-voix, maison de la recherche Blaise Pascal, 50, rue F. Buisson, BP 699, 62228 Calais cedex, France

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William Alexandre. Estimées C^k pour l'équation $ \overline{\partial }_{b}$ sur un convexe de type fini de $ \mathbb{C}^{n}$. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 338 (2004) no. 5, pp. 365-368. doi : 10.1016/j.crma.2004.01.005. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2004.01.005/

Bibliographie
Cité par

[1] W. Alexandre Construction d'une fonction de support à la Diederich–Fornæss, Pub. IRMA Lille, Volume 54 (2001) no. III

[2] W. Alexandre Estimées C^k pour les domaines convexes de type fini de $ℂ^{n}$ , C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 335 (2002), pp. 23-26

[3] K. Diederich; B. Fischer; J.E. Fornæss Hölder estimates on convex domains of finite type, Math. Z., Volume 232 (1999), pp. 43-61

[4] K. Diederich; J.E. Fornæss Support functions for convex domains of finite type, Math. Z. (1999), pp. 145-164

[5] G.M. Henkin The Lewy equation and analysis on pseudoconvex manifolds, Russian Math. Survey, Volume 32.3 (1977), pp. 59-130

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