Le nombre des diviseurs d'un entier dans les progressions arithmétiques

Abdallah Derbal; Abdelhakim Smati

doi:10.1016/j.crma.2004.04.021

Théorie des nombres

Le nombre des diviseurs d'un entier dans les progressions arithmétiques
[The number of divisors of an integer in arithmetic progressions]

Presented by: Christophe Soulé

Abdallah Derbal ¹ ; Abdelhakim Smati ²

¹ Département de mathématiques, École normale supérieure, BP 92, Vieux Kouba, Alger, Algérie
² Laco, UMR-CNRS 6090, université de Limoges, 123, avenue Albert Thomas, 87060 Limoges cedex, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 339 (2004) no. 2, pp. 87-90

Résumé (Original language)
Abstract

Soit d_k,ℓ(n) la fonction nombre des diviseurs de l'entier naturel n⩾1, dans les progressions arithmétiques {ℓ+mk}, avec 1⩽ℓ⩽k et ℓ,k premiers entre-eux, et soit F(n;k,ℓ) définie par :

F (n; k, ℓ) = \frac{\ln d_{k, ℓ} (n) \ln (ϕ (k) \ln n)}{\ln 2 \ln n} .

Dans cette Note, nous étudions et donnons la structure des nombres d_k,ℓ-hautement composés supérieurs qui généralisent ceux définis par S. Ramanujan. Nous prouvons que le maximum absolu de F(n;k,ℓ) est atteint sur ces nombres et nous le donnons explicitement pour k=2,…,13 ; généralisant ainsi l' étude faite par Nicolas et Robin pour k=1.

Let d_k,ℓ(n) be the function number of divisors of the integer n⩾1, in arithmetic progressions {ℓ+mk}, with 1⩽ℓ⩽k and ℓ,k coprime, and let F(n;k,ℓ) defined as follows:

F (n; k, ℓ) = \frac{\ln d_{k, ℓ} (n) \ln (ϕ (k) \ln n)}{\ln 2 \ln n} .

In this Note, we study and give the structure of d_k,ℓ-superior, highly composite numbers, which generalize those defined by S. Ramanujan. We prove that F(n;k,ℓ) reaches its maximum among these numbers. We give it explicitly for k=2,…,13. This generalizes the study of Nicolas and Robin, in which the case k=1 is treated.

Received: 2004-02-03
Accepted: 2004-04-30
Published online: 2004-07-15

DOI: 10.1016/j.crma.2004.04.021

Author's affiliations:

Abdallah Derbal ¹; Abdelhakim Smati ²

¹ Département de mathématiques, École normale supérieure, BP 92, Vieux Kouba, Alger, Algérie
² Laco, UMR-CNRS 6090, université de Limoges, 123, avenue Albert Thomas, 87060 Limoges cedex, France

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Abdallah Derbal; Abdelhakim Smati. Le nombre des diviseurs d'un entier dans les progressions arithmétiques. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 339 (2004) no. 2, pp. 87-90. doi: 10.1016/j.crma.2004.04.021

References
Cited by

[1] J.-L. Nicolas On highly composite numbers (G.E. Andrews et al., eds.), Ramanujan Revisited, Proceedings of the Centenary Conference, University of Illinois, 1987, pp. 215-244

[2] J.-L. Nicolas; G. Robin Majorations explicites pour le nombre des diviseurs de n, Bull. Can. Math., Volume 26 (1983) no. 4, pp. 485-492

[3] S. Ramanujan; S. Ramanujan, Proc. London Math. Soc. Ser. 2 (Collected Papers), Volume 14, Chelsea, 1915, pp. 347-409

[4] O. Ramaré; R. Rumely Primes in arithmetic progressions, Math. Comp., Volume 65 (1996) no. 213, pp. 397-425

Cited by Sources:

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