Comptes Rendus
Théorie des nombres
Le nombre des diviseurs d'un entier dans les progressions arithmétiques
[The number of divisors of an integer in arithmetic progressions]
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 339 (2004) no. 2, pp. 87-90.

Let dk,ℓ(n) be the function number of divisors of the integer n⩾1, in arithmetic progressions {ℓ+mk}, with 1⩽ℓ⩽k and ℓ,k coprime, and let F(n;k,ℓ) defined as follows:

F(n;k,)= ln d k, (n) ln (ϕ(k) ln n) ln 2 ln n.
In this Note, we study and give the structure of dk,ℓ-superior, highly composite numbers, which generalize those defined by S. Ramanujan. We prove that F(n;k,ℓ) reaches its maximum among these numbers. We give it explicitly for k=2,…,13. This generalizes the study of Nicolas and Robin, in which the case k=1 is treated.

Soit dk,ℓ(n) la fonction nombre des diviseurs de l'entier naturel n⩾1, dans les progressions arithmétiques {ℓ+mk}, avec 1⩽ℓ⩽k et ℓ,k premiers entre-eux, et soit F(n;k,ℓ) définie par :

F(n;k,)= ln d k, (n) ln (ϕ(k) ln n) ln 2 ln n.
Dans cette Note, nous étudions et donnons la structure des nombres dk,ℓ-hautement composés supérieurs qui généralisent ceux définis par S. Ramanujan. Nous prouvons que le maximum absolu de F(n;k,ℓ) est atteint sur ces nombres et nous le donnons explicitement pour k=2,…,13 ; généralisant ainsi l' étude faite par Nicolas et Robin pour k=1.

Received:
Accepted:
Published online:
DOI: 10.1016/j.crma.2004.04.021
Abdallah Derbal 1; Abdelhakim Smati 2

1 Département de mathématiques, École normale supérieure, BP 92, Vieux Kouba, Alger, Algérie
2 Laco, UMR-CNRS 6090, université de Limoges, 123, avenue Albert Thomas, 87060 Limoges cedex, France
@article{CRMATH_2004__339_2_87_0,
     author = {Abdallah Derbal and Abdelhakim Smati},
     title = {Le nombre des diviseurs d'un entier dans les progressions arithm\'etiques},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {87--90},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {339},
     number = {2},
     year = {2004},
     doi = {10.1016/j.crma.2004.04.021},
     language = {fr},
}
TY  - JOUR
AU  - Abdallah Derbal
AU  - Abdelhakim Smati
TI  - Le nombre des diviseurs d'un entier dans les progressions arithmétiques
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2004
SP  - 87
EP  - 90
VL  - 339
IS  - 2
PB  - Elsevier
DO  - 10.1016/j.crma.2004.04.021
LA  - fr
ID  - CRMATH_2004__339_2_87_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Abdallah Derbal
%A Abdelhakim Smati
%T Le nombre des diviseurs d'un entier dans les progressions arithmétiques
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2004
%P 87-90
%V 339
%N 2
%I Elsevier
%R 10.1016/j.crma.2004.04.021
%G fr
%F CRMATH_2004__339_2_87_0
Abdallah Derbal; Abdelhakim Smati. Le nombre des diviseurs d'un entier dans les progressions arithmétiques. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 339 (2004) no. 2, pp. 87-90. doi : 10.1016/j.crma.2004.04.021. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2004.04.021/

[1] J.-L. Nicolas On highly composite numbers (G.E. Andrews et al., eds.), Ramanujan Revisited, Proceedings of the Centenary Conference, University of Illinois, 1987, pp. 215-244

[2] J.-L. Nicolas; G. Robin Majorations explicites pour le nombre des diviseurs de n, Bull. Can. Math., Volume 26 (1983) no. 4, pp. 485-492

[3] S. Ramanujan; S. Ramanujan, Proc. London Math. Soc. Ser. 2 (Collected Papers), Volume 14, Chelsea, 1915, pp. 347-409

[4] O. Ramaré; R. Rumely Primes in arithmetic progressions, Math. Comp., Volume 65 (1996) no. 213, pp. 397-425

Cited by Sources:

Comments - Policy


Articles of potential interest

Le nombre des diviseurs unitaires d'un entier dans les progressions arithmétiques

Abdallah Derbal

C. R. Math (2005)


Sur un problème de S. Ramanujan

Abdelhakim Smati

C. R. Math (2005)


La somme des diviseurs unitaires d'un entier dans les progressions arithmétiques (σk,l*(n))

Abdallah Derbal

C. R. Math (2006)