Paradoxe de Klein pour l'équation de Klein–Gordon chargée : superradiance et opérateur de diffusion

Alain Bachelot

doi:10.1016/j.crma.2004.06.016

Équations aux dérivées partielles

Paradoxe de Klein pour l'équation de Klein–Gordon chargée : superradiance et opérateur de diffusion

Présenté par : Jean-Michel Bony

Alain Bachelot ¹

¹ Université Bordeaux-1, institut de mathématiques, UMR CNRS 5466, 33405 Talence cedex, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 339 (2004) no. 5, pp. 345-350.

Résumé
Abstract

Nous développons la théorie de la diffusion pour l'équation de Klein–Gordon chargée sur $R_{t} \times R_{x}$ en présence d'un potentiel électrostatique $A (x)$ admettant des limites distinctes $a^{\pm}$ quand $x \to \pm \infty$ . Dans ce cas, l'énergie conservée n'est pas définie positive (paradoxe de Klein). Nous faisons l'analyse spectrale de l'équation harmonique, et établissons l'existence d'un opérateur de diffusion dont la norme du symbole est strictement supérieur à 1 pour les fréquences dans $(a^{-}, a^{+})$ . Ces résultats s'appliquent à la métrique de DeSitter–Reissner–Nordstrøm, pour justifier la notion de superradiance des trous noirs chargés.

We develop the scattering theory for the charged Klein–Gordon equation on $R_{t} \times R_{x}$ , when the electrostatic potential $A (x)$ has different asymptotics $a^{\pm}$ as $x \to \pm \infty$ . In this case, the conserved energy is not positive definite (Klein Paradox). We construct the spectral representation for the harmonic equation, and we establish the existence of a Scattering Operator the symbol of which has a norm strictly larger than 1, for the frequencies in $(a^{-}, a^{+})$ . These results can be applied to the DeSitter–Reissner–Nordstrøm metric, to justify the notion of superradiance of the charged black-holes.

Reçu le : 2004-06-25
Accepté le : 2004-06-29
Publié le : 2004-08-10

DOI : 10.1016/j.crma.2004.06.016

Affiliations des auteurs :

Alain Bachelot ¹

¹ Université Bordeaux-1, institut de mathématiques, UMR CNRS 5466, 33405 Talence cedex, France

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Alain Bachelot. Paradoxe de Klein pour l'équation de Klein–Gordon chargée : superradiance et opérateur de diffusion. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 339 (2004) no. 5, pp. 345-350. doi : 10.1016/j.crma.2004.06.016. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2004.06.016/

Bibliographie
Cité par

[1] A. Bachelot, Superradiance and scattering of the charged Klein–Gordon field by a steplike electrostatic potential, J. Math. Pures Appl., à paraître

[2] E. Bairamov; Ö. Çakar; A.M. Krall An eigenfunction expansion for a quadratic pencil of a Schrödinger operator with spectral singularities, J. Differential Equations, Volume 151 (1999), pp. 268-289

[3] E.B. Davies; B. Simon Scattering theory for systems with different spatial asymptotics on the left and right, Commun. Math. Phys., Volume 63 (1978), pp. 277-301

[4] D. Häfner Sur la théorie de la diffusion pour l'équation de Klein–Gordon dans la métrique de Kerr, Dissertationes Math., Volume 421 (2003), p. 102

[5] T. Kako Spectral and scattering theory for the J-selfadjoint operators associated with the perturbed Klein–Gordon type equations, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sec. IA, Volume 23 (1976), pp. 199-221

[6] J.-P. Nicolas A non linear Klein–Gordon equation on Kerr metrics, J. Math. Pures Appl., Volume 81 (2002) no. 9, pp. 885-1203

[7] R. Ruffini The Dyadosphere of black holes and gamma-ray bursts, Astron. Astrophys. Suppl. Ser., Volume 138 (1999) no. 3, pp. 513-514

[8] S.N.M. Ruijsenaars; P.J.M. Bongaarts Scattering theory for one-dimensional step potentials, Ann. Inst. H. Poincaré Sec. A, Volume 26 (1977) no. 1, pp. 1-17

[9] R.A. Weder Scattering theory for the Klein–Gordon equation, Ann. Phys., Volume 27 (1978), pp. 100-117

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