Numerical solution of the two-dimensional elliptic Monge–Ampère equation with Dirichlet boundary conditions: a least-squares approach

Edward J. Dean; Roland Glowinski

doi:10.1016/j.crma.2004.09.018

Numerical Analysis

Numerical solution of the two-dimensional elliptic Monge–Ampère equation with Dirichlet boundary conditions: a least-squares approach
[Résolution numérique du problème de Dirichlet pour l'équation de Monge–Ampère elliptique en dimension deux par une méthode de moindres carrés.]

Présenté par : Philippe G. Ciarlet

Edward J. Dean ¹ ; Roland Glowinski ^1,²

¹ Department of Mathematics, University of Houston, Houston, Texas 77024-3008, USA
² Laboratoire Jacques-Louis Lions, université Pierre et Marie Curie, 4, place Jussieu, 75005 Paris, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 339 (2004) no. 12, pp. 887-892.

Résumé
Abstract

La résolution numérique du problème de Dirichlet pour l'équation de Monge–Ampère elliptique bi-dimensionelle, soit : $\det D^{2} ψ = f$ in Ω, $ψ = g$ on ∂Ω (ici, $Ω \subset R^{2}$ et $f > 0$ ), a été étudiée dans une note précédente [C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 336 (2003) 779–784]. La méthode décrite là, repose sur un algorithme de Lagrangien augmenté opérant dans l'espace $H^{2} (Ω)$ et des espaces associés de fonctions à valeurs tensorielles symétriques. Dans les cas où le problème ci-dessus n'a pas de solution dans $H^{2} (Ω)$ , alors que les données f and g verifient ${f, g} \in L^{1} (Ω) \times H^{3 / 2} (\partial Ω)$ , diverses observations et analogies suggèrent fortement que l'algorithme de Lagrangien augmenté décrit dans notre note précédente converge-en un certain sens-vers une solution appartenant à $V_{g} = {φ | φ \in H^{2} (Ω), φ = g on \partial Ω}$ et du type moindres carrés. L'objet de cette note est la résolution du problème de Monge–Ampère Dirichlet, directement par une méthode de moindres carrés. Cette méthode repose sur la minimisation sur l'ensemble $V_{g} \times Q_{f}$ (avec $Q_{f} = {q | q = {(q_{i j})}_{1 ⩽ i, j ⩽ 2}, q_{i j} \in L^{2} (Ω), \forall i, j, 1 ⩽ i, j ⩽ 2, q = q^{t}, \det q = f}$ ), d'une fonction coût bien choisie, de type moindres carrés. D'un point de vue pratique, on résout le problème de minimisation ci-dessus par un algorithme de type relaxation qui opère alternativement dans $V_{g}$ et $Q_{f}$ ; cet algorithme est facile à combiner aux approximations par élements finis mixtes utilisées dans la note précédente. Des essais numériques montrent que la méthode de moindres carrés ci-dessus a de bonnes propriétés de convergence quand le problème de Monge–Ampère Dirichlet a des solutions dans $V_{g}$ ; ces essais montrent également que lorsque problème ci-dessus n'a pas de solution dans $V_{g}$ , bien que $V_{g}$ et $Q_{f}$ soient non vides, la nouvelle méthode reproduit les solutions obtenues par Lagrangien augmenté, mais ce plus rapidement.

We addressed, in a previous note [C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 336 (2003) 779–784], the numerical solution of the Dirichlet problem for the two-dimensional elliptic Monge–Ampère equation, namely: $\det D^{2} ψ = f$ in Ω, $ψ = g$ on ∂Ω ( $Ω \subset R^{2}$ and $f > 0$ , here). The method discussed previously relies on an augmented Lagrangian algorithm operating in the space $H^{2} (Ω)$ and related functional spaces of symmetric tensor-valued functions. In the particular case where the above problem has no solution in $H^{2} (Ω)$ , while the data f and g verify ${f, g} \in L^{1} (Ω) \times H^{3 / 2} (\partial Ω)$ , there is strong evidence that the augmented Lagrangian algorithm discussed in previously converges-in some sense-to a least squares solution belonging to $V_{g} = {φ | φ \in H^{2} (Ω), φ = g on \partial Ω}$ . Our goal in this note is to discuss a least-squares based alternative solution method for the Monge–Ampère Dirichlet problem. This method relies on the minimization on the set $V_{g} \times Q_{f}$ (with $Q_{f} = {q | q = {(q_{i j})}_{1 ⩽ i, j ⩽ 2}, q_{i j} \in L^{2} (Ω), \forall i, j, 1 ⩽ i, j ⩽ 2, q = q^{t}, \det q = f}$ ) of a well-chosen least-squares functional. From a practical point of view we solve the above minimization problem via a relaxation type algorithm, operating alternatively in $V_{g}$ and $Q_{f}$ and very easy to combine to the mixed finite element approximations employed in the earlier work. Numerical experiments show that the above method has good convergence properties when the Monge–Ampère Dirichlet problem has solutions in $V_{g}$ ; they show also that, for cases where the above problem has no solution in $V_{g}$ , while neither $V_{g}$ nor $Q_{f}$ are empty, the new method reproduces the solutions obtained via the augmented Lagrangian approach, but faster.

Reçu le : 2004-08-30
Accepté le : 2004-09-02
Publié le : 2004-11-05

DOI : 10.1016/j.crma.2004.09.018

Affiliations des auteurs :

Edward J. Dean ¹ ; Roland Glowinski ^{1, 2}

¹ Department of Mathematics, University of Houston, Houston, Texas 77024-3008, USA
² Laboratoire Jacques-Louis Lions, université Pierre et Marie Curie, 4, place Jussieu, 75005 Paris, France

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Edward J. Dean; Roland Glowinski. Numerical solution of the two-dimensional elliptic Monge–Ampère equation with Dirichlet boundary conditions: a least-squares approach. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 339 (2004) no. 12, pp. 887-892. doi : 10.1016/j.crma.2004.09.018. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2004.09.018/

Bibliographie
Cité par

[1] E.J. Dean; R. Glowinski Numerical solution of the two-dimensional elliptic Monge–Ampère equation with Dirichlet boundary conditions: an augmented Lagrangian approach, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 336 (2003), pp. 779-784

[2] M. Fortin; R. Glowinski Augmented Lagrangians, North-Holland, Amsterdam, 1983

[3] R. Glowinski; P. Le Tallec Augmented Lagrangians and Operator Splitting Methods in Nonlinear Mechanics, SIAM, Philadelphia, PA, 1989

[4] E.J. Dean, R. Glowinski, Numerical methods for fully nonlinear equations elliptic equations of the Monge–Ampère type, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., in press

[5] E.J. Dean, R. Glowinski, T.W. Pan, Operator-splitting methods and applications to the direct numerical simulation of particulate flow and to the solution of the elliptic Monge–Ampère equation, in: Proceedings of the IFIP-WG7.2 Conference, Nice, 2003, Kluwer, in press

[6] R. Glowinski Finite element methods for incompressible viscous flow (P.G. Ciarlet; J.L. Lions, eds.), Handbook of Numerical Analysis, vol. IX, North-Holland, Amsterdam, 2003, pp. 3-1176

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