Comptes Rendus
no. 8
Dynamical Systems
Alien limit cycles near a Hamiltonian 2-saddle cycle
[Cycles limites étrangers près d'un 2-polycycle hamiltonien]

Présenté par : Étienne Ghys

Magdalena Caubergh1 ; Freddy Dumortier1 ; Robert Roussarie2
1 Limburgs Universitair Centrum, Universitaire Campus, B-3590 Diepenbeek, Belgium
2 Université de Bourgogne, I.M.B., UMR 5584 du CNRS, 21078 Dijon cedex, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 340 (2005) no. 8, pp. 587-592.

Il est connu que les perturbations d'un 2-polycycle hamiltonien Γ peuvent produire des cycles limites qui ne sont pas reliés aux zéros de l'intégrale abélienne associée, même si elle est générique. Ces cycles limites sont appelés cycles limites étrangers. Ce phénomène ne peut pas apparaitre dans le cas où Γ est une orbite périodique, une singularité non-dégénérée, ou bien un laçet homocline. Dans cette Note, nous présentons une méthode pour étudier ce phénomène dans le cas d'un déploiement particulier de 2-polycycle Hamiltonien, préservant l'une des deux connections pendant la bifurcation.

It is known that perturbations from a Hamiltonian 2-saddle cycle Γ can produce limit cycles that are not covered by the Abelian integral, even when it is generic. These limit cycles are called alien limit cycles. This phenomenon cannot appear in the case that Γ is a periodic orbit, a non-degenerate singularity, or a saddle loop. In this Note, we present a way to study this phenomenon in a particular unfolding of a Hamiltonian 2-saddle cycle, keeping one connection unbroken at the bifurcation.

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DOI : 10.1016/j.crma.2005.03.009
Magdalena Caubergh 1 ; Freddy Dumortier 1 ; Robert Roussarie 2

1 Limburgs Universitair Centrum, Universitaire Campus, B-3590 Diepenbeek, Belgium
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Magdalena Caubergh; Freddy Dumortier; Robert Roussarie. Alien limit cycles near a Hamiltonian 2-saddle cycle. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 340 (2005) no. 8, pp. 587-592. doi : 10.1016/j.crma.2005.03.009. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2005.03.009/

[1] M. Caubergh, Limit cycles near vector fields of center type, Thesis, Limburgs Universitair Centrum, Diepenbeek, Belgium, 2004

[2] F. Dumortier, R. Roussarie, Abelian integrals and limit cycles, 2004, submitted for publication

[3] P. Marděsić Chebychev Systems and the Versal Unfolding of a Cusp of Order n, Travaux en cours, Hermann, Editeurs des Sciences et des arts, Paris, 1998

[4] R. Roussarie On the number of limit cycles which appear by perturbation of separatrix loop of planar vector fields, Bol. Soc. Bras. Mat., Volume 17 (1986) no. 2, pp. 67-101

[5] R. Roussarie Bifurcations of Planar Vector Fields and Hilbert's Sixteenth Problem, Progr. Math., vol. 164, Birkhäuser, Basel, 1998

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