Comptes Rendus
no. 8
Géométrie algébrique
A propos de la fonction de Artin en dimension N⩾2

Présenté par : Michel Raynaud

Guillaume Rond1
1 Laboratoire E. Picard, UFR MIG, 118, route de Narbonne, 31062 Toulouse cedex 4, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 340 (2005) no. 8, pp. 577-580.

Dans cette Note nous montrons, à l'aide d'un contre-exemple, qu'un résultat de Hickel [Am. J. Math. 115 (1993) 1299–1334] en dimension 1 est faux en dimension N⩾2. Ce résultat de Hickel relie la fonction de Artin d'un germe de fonction holomorphe avec celle de son idéal jacobien. De tels liens sont importants pour prouver le théorème d'approximation linéaire de Artin conjecturé depuis quinze ans [Spivakovsky, Proceedings of the II SBWAG, Santiago de Compostela 54 (1990) 237–254].

In this Note we give a counter-example to a generalization in dimension N⩾2 of a result of Hickel in dimension 1 [Am. J. Math. 115 (1993) 1299–1334] which relates the Artin function of a germ of holomorphic function to the Artin function of its Jacobian ideal. Such links are important in order to prove the linear Artin approximation theorem that has been conjectured fifteen years ago [Spivakovsky, Proceedings of the II SBWAG, Santiago de Compostela 54 (1990) 237–254].

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DOI : 10.1016/j.crma.2005.03.006
Guillaume Rond 1

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Guillaume Rond. A propos de la fonction de Artin en dimension $ N⩾2$. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 340 (2005) no. 8, pp. 577-580. doi : 10.1016/j.crma.2005.03.006. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2005.03.006/

[1] M. Artin Algebraic approximation of structures over complete local rings, Publ. Math. IHES, Volume 36 (1969), pp. 23-58

[2] M.J. Greenberg Rational points in henselian discrete valuation rings, Publ. Math. IHES, Volume 31 (1966), pp. 59-64

[3] M. Hickel Fonction de Artin et germes de courbes traçées sur un germe d'espace analytique, Am. J. Math., Volume 115 (1993), pp. 1299-1334

[4] M. Lejeune-Jalabert Courbes tracées sur un germe d'hypersurface, Am. J. Math., Volume 112 (1990), pp. 525-568

[5] M. Nagata Local Rings, Interscience, New York, 1962

[6] M. Spivakovsky Valuations, the linear Artin approximation theorem and convergence of formal functions, Proc. of the II SBWAG, Santiago de Compostela, Volume 54 (1990), pp. 237-254

[7] J.J. Wavrik A theorem on solutions of analytic equations with applications to deformations of complex structures, Math. Ann., Volume 216 (1975), pp. 127-142

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