Functional graphs

Amine El Sahili

doi:10.1016/j.crma.2005.05.021

Logic/Combinatorics

Functional graphs

Presented by: Jean-Yves Girard

Amine El Sahili ¹

¹ Lebanese university I, El hadas, Beyrout, Lebanon

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 341 (2005) no. 1, pp. 1-4.

Abstract
Résumé

A graph G is said to be a functional graph if there exist two mappings f and g from $V (G)$ into a set F such that xy is an edge in G whenever $f (x) = g (y)$ or $g (x) = f (y)$ . Chvátal and Ebenegger proved that recognizing functional graphs is an NP-complete problem. Using the compactness theorem, we prove that if G is an infinite graph such that any finite subgraph of G is a functional graph, then G is a functional graph. We give an elementary proof of this fact in the infinite countable case. In the finite case, we prove that for n large enough, any graph of girth n containing at most $3 n - 7$ vertices is a functional graph. It will be shown by an example that this bound is the best possible.

Un graphe G est dit graphe fonctionnel s'il existe deux applications f et g de $V (G)$ dans un ensemble F telles que xy est une arête de G si et seulement si $f (x) = g (y)$ ou $g (x) = f (y)$ . Chvátal et Ebenegger ont prouvé que le problème de reconnaissance des graphes fonctionnels est NP-complet. En utilisant le théorème de compacité, nous prouvons que si G est un graphe infini tel que tout sous-graphe fini de G est fonctionnel, alors G est fonctionnel. Nous donnons une preuve élémentaire de ce fait dans le cas dénombrable. Dans le cas fini, nous prouvons que pour n suffisamment grand, tout graphe sans cycle d'ordre plus petit que n et contenant au plus $3 n - 7$ sommets est un graphe fonctionnel. Il sera montré à l'aide d'un exemple que $3 n - 7$ est la meilleure borne possible.

Received: 2005-04-27
Accepted: 2005-05-04
Published online: 2005-06-28

DOI: 10.1016/j.crma.2005.05.021

Author's affiliations:

Amine El Sahili ¹

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Amine El Sahili. Functional graphs. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 341 (2005) no. 1, pp. 1-4. doi : 10.1016/j.crma.2005.05.021. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2005.05.021/

References
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[5] M. Manzano Model Theory, Clarendon Press, Oxford, 1999

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Cited by Sources:

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