On the Łojasiewicz numbers, II

Evelia García Barroso; Tadeusz Krasiński; Arkadiusz Płoski

doi:10.1016/j.crma.2005.06.033

Algebraic Geometry

On the Łojasiewicz numbers, II
[Sur les nombres de Łojasiewicz, II]

Présenté par : Bernard Malgrange

Evelia García Barroso ¹ ; Tadeusz Krasiński ² ; Arkadiusz Płoski ³

¹ Departamento de Matemática Fundamental, Facultad de Matemáticas, Universidad de La Laguna, 38271 La Laguna, Tenerife, Spain
² Faculty of Mathematics, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland
³ Department of Mathematics, Technical University, Al. 1000 L PP7, 25-314 Kielce, Poland

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 341 (2005) no. 6, pp. 357-360.

Résumé
Abstract

Pour toute fonction holomorphe f de deux variables complexes ayant un point critique isolé à l'origine nous considérons l'exposant de Łojasiewicz $L_{0} (f)$ égal, par definition, au plus petit nombre $θ > 0$ tel que $| grad f (z) | ⩾ c {| z |}^{θ}$ dans un voisinage de $0 \in C^{2}$ . Dans cette Note nous étudions le rapport entre des propriétés arithmétiques de l'exposant $L_{0} (f)$ et des propriétés topologiques de la singularité plane $f = 0$ .

For every holomorphic function in two complex variables with an isolated critical point at the origin we consider the Łojasiewicz exponent $L_{0} (f)$ defined to be the smallest $θ > 0$ such that $| grad f (z) | ⩾ c {| z |}^{θ}$ near $0 \in C^{2}$ for some $c > 0$ . The numbers $L_{0} (f)$ are rational. In this Note we discuss the interplay between arithmetical properties of the rationals $L_{0} (f)$ and topological properties of plane curve singularities $f = 0$ .

Reçu le : 2005-03-01
Accepté le : 2005-06-28
Publié le : 2005-09-02

DOI : 10.1016/j.crma.2005.06.033

Affiliations des auteurs :

Evelia García Barroso ¹ ; Tadeusz Krasiński ² ; Arkadiusz Płoski ³

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AU  - Evelia García Barroso
AU  - Tadeusz Krasiński
AU  - Arkadiusz Płoski
TI  - On the Łojasiewicz numbers, II
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
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Evelia García Barroso; Tadeusz Krasiński; Arkadiusz Płoski. On the Łojasiewicz numbers, II. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 341 (2005) no. 6, pp. 357-360. doi : 10.1016/j.crma.2005.06.033. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2005.06.033/

Bibliographie
Cité par

[1] E. García Barroso; A. Płoski On the Łojasiewicz numbers, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 336 (2003), pp. 585-588

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[4] A. Lenarcik On the Łojasiewicz exponent of the gradient of a holomorphic function, Singularities, Symposium Łojasiewicz, 70, Banach Center Publications, vol. 44, PWN, Warszawa, 1998, pp. 149-166

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[7] O. Zariski Le problème des modules pour les branches planes, Hermann, Paris, 1986 (x+212 pp)

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