Comptes Rendus
no. 7
Problèmes mathématiques de la mécanique/Équations aux dérivées partielles
Une redécouverte de l'équation de Korteweg–de Vries et de Kadomtsev–Petviashvili

Présenté par : Philippe G. Ciarlet

Tadayoshi Kano1, 2 ; Takaaki Nishida3
1 Département de mathématiques, Université d'Osaka, Toyonaka, 5600043, Japon
2 Department of Mathematics, City University of Hong Kong, Tat Chee Avenue, Kowloon, Hong Kong
3 Département de mathématiques, Université de Kyoto, Kyoto, 6068502, Japon
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 341 (2005) no. 7, pp. 461-464.

On a découvert le flux des équations des ondes longues à la surface de l'eau, se propageant dans chacune des directions caractéristiques de l'équation des cordes vibrantes, première approximation, approché par les solutions de l'équation de Korteweg–de Vries. Dans l'écoulement tridimensionnel, le phénomène est de même ordre pour l'équation de Kadomtsev–Petviashvili.

We show that the flux of long waves of water surface, propagating in each characteristic direction of the equations for a vibrating string, to a first approximation, are close to the solutions of the Korteweg–de Vries equation. In a three dimensional flow, the phenomenon is of the same order as the Kadomtsev–Petviashvili equation.

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DOI : 10.1016/j.crma.2005.08.006
Tadayoshi Kano 1, 2 ; Takaaki Nishida 3

1 Département de mathématiques, Université d'Osaka, Toyonaka, 5600043, Japon
2 Department of Mathematics, City University of Hong Kong, Tat Chee Avenue, Kowloon, Hong Kong
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Tadayoshi Kano; Takaaki Nishida. Une redécouverte de l'équation de Korteweg–de Vries et de Kadomtsev–Petviashvili. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 341 (2005) no. 7, pp. 461-464. doi : 10.1016/j.crma.2005.08.006. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2005.08.006/

[1] K.-O. Friedrichs On the derivation of the shallow water theory, Appendix to: “The formation of breakers and bores” by J.J. Stoker, Comm. Pure Appl. Math., Volume 1 (1948), pp. 1-87

[2] T. Kano Une théorie trois-dimensionnelle des ondes de surface de l'eau et le développement de Friedrichs, J. Math. Kyoto Univ., Volume 26 (1986), pp. 101-155 (et 157–175)

[3] T. Kano L'équation de Kadomtsev–Petviashvili approchant des ondes longues de surface de l'eau en écoulement trois-dimensionnel, Patterns and Waves—Qualitative Analysis of Nonlinear Differential Equations, Stud. Math. Appl., vol. 18, North-Holland, 1986, pp. 431-444

[4] T. Kano Higher KdV equations approximating long waves of two-dimensional water surface, RIMS Kyoto Univ. Koukyuroku, Volume 1322 (2003), pp. 115-125

[5] T. Kano; T. Nishida Sur les ondes de surface de l'eau avec une justification mathématique des équations des ondes en eau peu profonde, J. Math. Kyoto Univ., Volume 19 (1979), pp. 335-370

[6] T. Kano; T. Nishida Water waves and Friedrichs expansion, Lecture Notes Numer. Appl. Anal., vol. 6, Kinokuniya–North Holland, 1983, pp. 39-57

[7] T. Kano; T. Nishida A mathematical justification for Korteweg–de Vries equation and Boussinesq equation of water surface waves, Osaka J. Math., Volume 23 (1986), pp. 389-413

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[9] L.V. Ovsjannikov Problème de Cauchy non-linéaire dans l'échelle d'espaces de Banach, Dokl. Akad. Nauk URSS, Volume 200 (1971), pp. 789-792

[10] J. Scott Russell Report on waves, Report of the Fourteenth Meeting of the British Association for the Advancement of Science Held at York in September 1844, John Murray, London, 1845, pp. 311-390

[11] G.G. Stokes On the theory of oscillatory waves, Trans. Cambridge Philos. Soc., Volume 8 (1847), pp. 441-455

[12] F. Ursell The long wave paradox in the theory of gravity waves, Proc. Philos. Soc. Cambridge, Volume 49 (1953), pp. 685-694

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