Comptes Rendus
no. 9
Analyse complexe
Courants positifs à supports dans une bande

Présenté par : Jean-Pierre Demailly

Fredj Elkhadhra1 ; Souad K. Mimouni1
1 Faculté des sciences de monastir, 5019 Monastir, Tunisie
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 341 (2005) no. 9, pp. 549-554.

Soit T un courant positif de bidimension (p,p) sur Cn à support dans une bande. Si T est fermé, S. Giret a démontré que T se relève bien par un éclatement de centre lisse. La classe de courants positifs fermés de bidimension (1,1) sur le bidisque unité Δ2 et à support dans une bande joue un rôle important dans l'étude de la dynamique de certaines applications holomorphes. Dans cette note, on étudie la croissance de la mesure trace de T dans le cas où ddcT⩽0, on montre en particulier que si T est fermé alors il est algébrique. On montre ensuite deux théorèmes de support ; le premier lorsqu'on suppose de plus que T est de degé finie et le deuxième dans le cas où T est positif fermé à support tubulaire. Le dernier résultat généralise le cas p=n−1 démontré par M. Blel, S.K. Mimouni et G. Raby et le cas où T est un courant d'intégration sur une hypersurface démontré par M.T. Togni.

Let T be a positive current of bidimension (p,p) on Cn with support in a strip. If T is closed, S. Giret has proved that T admits a well defined lifting through a blow up with smooth center. The class of positive closed currents with bidimension (1,1) in the unit bidisc Δ2 and with support in a strip, plays a central role in the study of the dynamics of some holomorphic maps. In this note, we prove some estimates of the trace measure of T when ddcT⩽0, we prove in particular that if T is closed, then it is algebraic. We then prove two support theorems; the first one in the case where the degree of T is finite and the second in the case where T is positive closed and with tubular support. The latter result generalizes the case p=n−1 proved by M. Blel, S.K. Mimouni and G. Raby, which is also a generalization of the case when T is the current of integration on an hypersurface as proved by M.T. Togni.

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DOI : 10.1016/j.crma.2005.09.003
Fredj Elkhadhra 1 ; Souad K. Mimouni 1

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Fredj Elkhadhra; Souad K. Mimouni. Courants positifs à supports dans une bande. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 341 (2005) no. 9, pp. 549-554. doi : 10.1016/j.crma.2005.09.003. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2005.09.003/

[1] M. Blel, S.K. Mimouni, G. Raby, Courants algébriques et courants de Liouville, Prépublication de l'Université de Poitiers, 2000

[2] J.-P. Demailly, Potential theory in several complex variables, Cours CIMPA, Nice, juillet 1989

[3] K. Dabbek; F. Elkhadhra; H. El Mir On the extension of PSH currents, Math. Z., Volume 245 (2003), pp. 455-481

[4] S.K. Mimouni Théorème de type Liouville pour les courants positifs fermés, C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. I (2000), pp. 611-616

[5] M.T. Togni, Sur les espaces de Liouvilles, Thèse d'Université de Bordeaux I, 1996, pp. 361–376

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