La forme trace d'une algèbre simple centrale de degré 4

Markus Rost; Jean-Pierre Serre; Jean-Pierre Tignol

doi:10.1016/j.crma.2005.11.002

Algèbre

La forme trace d'une algèbre simple centrale de degré 4
[The trace form of a central simple algebra of degree 4]

Presented by: Jean-Pierre Serre

Markus Rost ¹; Jean-Pierre Serre ²; Jean-Pierre Tignol ³

¹ Fakultät für Mathematik, Universität Bielefeld, Postfach 100131, 33501 Bielefeld, Allemagne
² Collège de France, 3, rue d'Ulm, 75005 Paris, France
³ Département de mathématique, université catholique de Louvain, B-1348 Louvain-la-Neuve, Belgique

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 342 (2006) no. 2, pp. 83-87.

Résumé (Original language)
Abstract

Soit k un corps de caractéristique ≠2 dans lequel −1 est un carré, et soit A une algèbre simple centrale sur k de degré 4. La forme trace de A s'écrit de façon unique comme une somme (au sens de Witt) $q_{2} + q_{4}$ , où $q_{2}$ (resp. $q_{4}$ ) est une 2-forme de Pfister (resp. une 4-forme de Pfister). On a $q_{4} = 0$ si et seulement si A est cyclique, et $q_{2} = 0$ si et seulement si $2 . [A] = 0$ dans $Br (k)$ .

Let k be a field of characteristic different from 2 containing a primitive 4-th root of unity. We show that the trace quadratic form of any central simple k-algebra A of degree 4 decomposes in the Witt group of k as the sum of a 2-fold Pfister form $q_{2}$ and a 4-fold Pfister form $q_{4}$ which are uniquely determined by A. The form $q_{2}$ is the norm form of the quaternion algebra Brauer-equivalent to $A \otimes_{k} A$ , and $q_{4}$ is hyperbolic if and only if A is a symbol algebra.

Received: 2005-11-01
Accepted: 2005-11-04
Published online: 2005-12-07

DOI: 10.1016/j.crma.2005.11.002

Author's affiliations:

Markus Rost ¹; Jean-Pierre Serre ²; Jean-Pierre Tignol ³

¹ Fakultät für Mathematik, Universität Bielefeld, Postfach 100131, 33501 Bielefeld, Allemagne
² Collège de France, 3, rue d'Ulm, 75005 Paris, France
³ Département de mathématique, université catholique de Louvain, B-1348 Louvain-la-Neuve, Belgique

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Markus Rost; Jean-Pierre Serre; Jean-Pierre Tignol. La forme trace d'une algèbre simple centrale de degré 4. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 342 (2006) no. 2, pp. 83-87. doi : 10.1016/j.crma.2005.11.002. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2005.11.002/

References
Cited by

[1] A.A. Albert Structure of Algebras, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1961 MR0123587 (23 #A912) Zbl 0023.19901

[2] S. Garibaldi et al. Cohomological Invariants in Galois Cohomology, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2003 MR1999383 (2004f:11034) Zbl pre01959122

[3] M. Kneser et al. Composition of quaternary quadratic forms, Compositio Math., Volume 60 (1986), pp. 133-150 MR0868134 (88a:11037) Zbl 0612.10015

[4] M.-A. Knus et al. The Book of Involutions, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1998 MR1632779 (2000a:16031) Zbl 0955.16001

[5] W. Kuyk Generic construction of non-cyclic division algebras, J. Pure Appl. Algebra, Volume 2 (1972), pp. 121-130 MR0302688 (46#1832) Zbl 0239.16008

[6] P.J. Morandi; B.A. Sethuraman Kummer subfields of tame division algebras, J. Algebra, Volume 172 (1995), pp. 554-583 MR1322417 (96e:16020) Zbl 0840.16013

[7] L. Risman Non-cyclic division algebras, J. Pure Appl. Algebra, Volume 11 (1977/1978), pp. 199-215 MR0491809 (58#11007) Zbl 0369.16017

[8] L.H. Rowen Division algebras over $C_{2}$ - and $C_{3}$ -fields, Proc. Amer. Math. Soc., Volume 130 (2002), pp. 1607-1610 MR1887005 (2002m:16020) Zbl 1010.11065

[9] J.-P. Tignol Cyclic and elementary Abelian subfields of Malcev–Neumann division algebras, J. Pure Appl. Algebra, Volume 42 (1986), pp. 199-220 MR0857567 (87m:16041) Zbl 0602.16020

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