La forme seconde trace d'une algèbre simple centrale de degré 4 de caractéristique 2

Jean-Pierre Tignol

doi:10.1016/j.crma.2005.11.010

Algèbre

La forme seconde trace d'une algèbre simple centrale de degré 4 de caractéristique 2
[The second trace form of a central simple algebra of degree 4 of characteristic 2]

Presented by: Jean-Pierre Serre

Jean-Pierre Tignol ¹

¹ Département de mathématique, université catholique de Louvain, B-1348 Louvain-la-Neuve, Belgique

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 342 (2006) no. 2, pp. 89-92.

Abstract
Résumé

Let A be a central simple algebra of degree 4 over a field k of characteristic 2 and let $q_{A}$ be the quadratic form on A given by the second coefficient of the reduced characteristic polynomial. We show that A uniquely determines a 2-fold Pfister form $q_{2}$ and a 4-fold Pfister form $q_{4}$ such that $q_{A} = [1, 1] + q_{2} + q_{4}$ in the Witt group of k, where $[1, 1]$ is the form $x^{2} + x y + y^{2}$ . The form $q_{2}$ is the norm form of the quaternion algebra Brauer-equivalent to $A \otimes_{k} A$ , and $q_{4}$ is hyperbolic if and only if A is cyclic.

Soit A une algèbre simple centrale de degré 4 sur un corps k de caractéristique 2. La forme quadratique $q_{A}$ donnée par le deuxième coefficient du polynome caractéristique réduit s'écrit de façon unique comme une somme (au sens de Witt) $[1, 1] + q_{2} + q_{4}$ , où $[1, 1]$ est la forme $x^{2} + x y + y^{2}$ et $q_{2}$ (resp. $q_{4}$ ) est une 2-forme de Pfister (resp. une 4-forme de Pfister). On a $q_{4} = 0$ si et seulement si A est cyclique, et $q_{2} = 0$ si et seulement si $2 . [A] = 0$ dans $Br (k)$ .

Received: 2005-11-09
Published online: 2005-12-06

DOI: 10.1016/j.crma.2005.11.010

Author's affiliations:

Jean-Pierre Tignol ¹

¹ Département de mathématique, université catholique de Louvain, B-1348 Louvain-la-Neuve, Belgique

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Jean-Pierre Tignol. La forme seconde trace d'une algèbre simple centrale de degré 4 de caractéristique 2. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 342 (2006) no. 2, pp. 89-92. doi : 10.1016/j.crma.2005.11.010. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2005.11.010/

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