Analyse anaplectique sur la droite réelle

André Unterberger

doi:10.1016/j.crma.2005.11.009

Analyse mathématique

Analyse anaplectique sur la droite réelle

Présenté par : Jean-Michel Bony

André Unterberger ¹

¹ Département de mathématiques, UMR 6056, université de Reims, BP 1039, 51687 Reims cedex 2, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 342 (2006) no. 2, pp. 93-97.

Résumé
Abstract

On sait que la représentation métaplectique dans $L^{2} (R)$ se décompose comme la somme de deux termes figurant l'un dans la série discrète holomorphe du revêtement d'ordre deux du groupe $G = SL (2, R)$ , l'autre dans un prolongement de cette série. Partant plutôt de la série complémentaire des représentations unitaires du revêtement universel de G, on parvient, pour tout nombre réel ν mod 2, $ν \notin Z$ , à la construction d'une « analyse » nouvelle sur la droite réelle. L'espace $A_{ν}$ qui remplace $L^{2} (R)$ est un espace de fonctions se prolongeant en des fonctions entières. La notion d'intégrale sur la droite une fois convenablement modifiée, la transformation de Fourier et la représentation « ν-anaplectique » se définissent sans difficulté, et se combinent de la façon usuelle avec la représentation d'Heisenberg ; les représentations considérées sont pseudo-unitaires par rapport à un même produit scalaire. Les valeurs propres de l'oscillateur harmonique dans l'espace $A_{ν}$ constituent la suite arithmétique $ν + \frac{1}{2} + Z$ .

The two irreducible summands of the metaplectic representation in $L^{2} (R)$ occur for one in the discrete series of the twofold cover of the group $G = SL (2, R)$ , for the other in the continuation of this series. Starting instead from the complementary series of the universal cover of G, one can associate with every real number ν mod 2 a new ‘analysis’ on the real line. The space $A_{ν}$ that substitutes for $L^{2} (R)$ consists of functions extending as entire functions of one variable. Once the proper notion of integral on the real line has been introduced, one easily defines a concept of Fourier transformation and a new ‘ν-anaplectic’ representation: the latter combines in the usual way with the Heisenberg representation, and both representations are pseudo-unitary with respect to some ν-dependent scalar product. The spectrum of the harmonic oscillator in the space $A_{ν}$ is the set $ν + \frac{1}{2} + Z$ .

Reçu le : 2005-07-07
Accepté le : 2005-11-07
Publié le : 2005-12-07

DOI : 10.1016/j.crma.2005.11.009

Affiliations des auteurs :

André Unterberger ¹

¹ Département de mathématiques, UMR 6056, université de Reims, BP 1039, 51687 Reims cedex 2, France

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André Unterberger. Analyse anaplectique sur la droite réelle. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 342 (2006) no. 2, pp. 93-97. doi : 10.1016/j.crma.2005.11.009. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2005.11.009/

Bibliographie
Cité par

[1] W. Magnus; F. Oberhettinger; R.P. Soni Formulas and Theorems for the Special Functions of Mathematical Physics, Springer-Verlag, Berlin, 1966

[2] L. Pukanszky The Plancherel formula for the universal covering group of $SL (R, 2)$ , Math. Ann., Volume 156 (1964), pp. 96-143

[3] A. Unterberger, The fourfold way in real analysis, and an alternative to the metaplectic representation, à paraître chez Birkhäuser

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