On définit un opérateur agissant sur des processus stochastiques, qui étend la dérivation classique sur les fonctions déterministes différentiables. On utilise cet opérateur pour définir une procédure associant aux opérateurs différentiels et équations différentielles ordinaires leurs analogues stochastiques. Elle est appelée plongement stochastique. En plongeant les systèmes lagrangiens, nous obtenons une équation d'Euler–Lagrange stochastique, qui dans le cas des systèmes lagrangiens naturels est appelée équation de Newton plongée. Cette dernière contient l'équation de Newton stochastique introduite par Nelson dans sa théorie dynamique des diffusions browniennes. Enfin, on considère une diffusion à drift gradient, à coefficient de diffusion constant et possédant une densité de probabilité. On démontre alors qu'une condition nécessaire pour que cette diffusion soit solution de l'équation de Newton plongée, est que sa densité soit le carré du module d'une fonction d'onde solution d'une équation de Schrödinger linéaire.
We define an operator which extends classical differentiation from smooth deterministic functions to certain stochastic processes. Based on this operator, we define a procedure which associates a stochastic analog to standard differential operators and ordinary differential equations. We call this procedure stochastic embedding. By embedding Lagrangian systems, we obtain a stochastic Euler–Lagrange equation which, in the case of natural Lagrangian systems, is called the embedded Newton equation. This equation contains the stochastic Newton equation introduced by Nelson in his dynamical theory of Brownian diffusions. Finally, we consider a diffusion with a gradient drift, a constant diffusion coefficient and having a probability density function. We prove that a necessary condition for this diffusion to solve the embedded Newton equation is that its density be the square of the modulus of a wave function solution of a linear Schrödinger equation.
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Jacky Cresson 1 ; Sébastien Darses 1
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Jacky Cresson; Sébastien Darses. Plongement stochastique des systèmes lagrangiens. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 342 (2006) no. 5, pp. 333-336. doi : 10.1016/j.crma.2005.12.028. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2005.12.028/
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