Un théorème de Liouville pour l'opérateur de Schrödinger avec dérive

Saïd Asserda

doi:10.1016/j.crma.2006.01.007

Équations aux dérivées partielles/Géométrie différentielle

Un théorème de Liouville pour l'opérateur de Schrödinger avec dérive
[A Liouville theorem for Schrödinger operator with drift]

Presented by: Bernard Malgrange

Saïd Asserda ¹

¹ Laboratoire d'analyse fonctionnelle, harmonique et complexe, équipe d'analyse complexe, université Ibn Tofail, faculté des sciences, département des mathématiques, BP 133, Kénitra, Maroc

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 342 (2006) no. 6, pp. 393-398.

Abstract
Résumé

Let $(M, g)$ be a complete Riemannian manifold without boundary of dimension n and V be a $C^{2}$ vector field on M such that $r (x) | V (x) |$ is bounded. Suppose that ${Ric}_{g} (x) ⩾ - \min {λ (r (x)) - μ_{\nabla V} (x), β (r (x))}$ outside a compact set of M, where $μ_{\nabla V}$ denotes the upper eigenvalue of ∇V and $λ, β$ are non-negative decreasing functions such that $\lim_{t \to + \infty} t^{2} λ (t) = 0$ . There exists positive numbers $b_{n}$ and $c_{n}$ which depend only on n and $‖ V ‖_{\infty}$ such that if h is a $C^{2}$ function defined on M with $Δ h ⩾ - c_{n} a^{2}$ and ${lim sup}_{R \to \infty} R^{−2} \min_{x \in B_{p} (3 R) ∖ B_{p} (R)} h (x) ⩾ - b_{n} a^{2}$ , where $0 ⩽ a < {lim inf}_{j \to \infty} h (z_{j})$ , where $(z_{j})$ is a sequence of M such that $r (z_{j}) \to \infty$ , then the equation $Δ u (x) + V (x) \cdot \nabla u (x) + h (x) u (x) = 0$ has no positive $C^{2}$ solution on M.

Soit $(M, g)$ une variété riemanniene complète sans bord de dimension n. Soit V un champ de vecteurs de classe $C^{2}$ sur M tel que $r (x) | V (x) |$ soit borné. On suppose qu'en dehors d'un compact de M on a ${Ric}_{g} (x) ⩾ - \min {λ (r (x)) - μ_{\nabla V} (x), β (r (x))}$ , où $μ_{\nabla V}$ est la plus grande valeur propre de ∇V et $λ, β$ sont des fonctions décroissantes non négatives avec $\lim_{t \to + \infty} t^{2} λ (t) = 0$ . Il existe des constantes positives $b_{n}$ et $c_{n}$ dépendant seulement de n et $‖ V ‖_{\infty}$ tels que si h est une fonction de classe $C^{2}$ sur M vérifiant $Δ h ⩾ - c_{n} a^{2}$ et ${lim sup}_{R \to \infty} R^{−2} \min_{x \in B_{p} (3 R) ∖ B_{p} (R)} h (x) ⩾ - b_{n} a^{2}$ où $0 ⩽ a < {lim inf}_{j \to \infty} h (z_{j})$ pour $(z_{j})$ une suite de points de M vérifiant $r (z_{j}) \to \infty$ , alors l'équation $Δ u (x) + V (x) \cdot \nabla u (x) + h (x) u (x) = 0$ n'admet pas de solution positive de classe $C^{2}$ sur M.

Received: 2005-07-06
Accepted: 2005-12-19
Published online: 2006-02-15

DOI: 10.1016/j.crma.2006.01.007

Author's affiliations:

Saïd Asserda ¹

¹ Laboratoire d'analyse fonctionnelle, harmonique et complexe, équipe d'analyse complexe, université Ibn Tofail, faculté des sciences, département des mathématiques, BP 133, Kénitra, Maroc

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Saïd Asserda. Un théorème de Liouville pour l'opérateur de Schrödinger avec dérive. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 342 (2006) no. 6, pp. 393-398. doi : 10.1016/j.crma.2006.01.007. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2006.01.007/

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