On the Brieskorn $ (a,b)$-module of an isolated hypersurface singularity

Daniel Barlet

doi:10.1016/j.crma.2006.10.001

Analytic Geometry

On the Brieskorn

(a, b)

-module of an isolated hypersurface singularity
[A propos du

(a, b)

-module de Brieskorn d'une fonction à singularité isolée]

Présenté par : Bernard Malgrange

Daniel Barlet ¹

¹ Université Henri-Poincaré (Nancy I) et Institut universitaire de France, Institut E.Cartan UHP/CNRS/INRIA, UMR 7502, faculté des sciences et techniques, B.P. 239 54506 Vandoeuvre-les-Nancy cedex, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 343 (2006) no. 11-12, pp. 747-749.

Résumé
Abstract

Pour un germe g de fonction holomorphe à singularité isolée à l'origine de $C^{n}$ nous montrons que le prolongement méromorphe de la distribution $\frac{1}{Γ (λ)} . {| g |}^{2 λ} {\bar{g}}^{- n}$ admet un pôle en $λ = - n - α$ où α est la plus petite racine dans sa classe modulo $Z$ du polynôme réduit de Bernstein–Sato de g. Ce résultat assez « inattendu » est conséquence du fait que l'auto-dualité du $(a, b)$ -module de Brieskorn $E_{g}$ associé à g échange le plus grand sous-module à pôle simple de $E_{g}$ avec le saturé de $E_{g}$ par $b^{−1} a$ .

For a germ g of holomorphic function with an isolated singularity at the origin of $C^{n}$ we show that there is a pole for the meromorphic continuation of the distribution $\frac{1}{Γ (λ)} . {| g |}^{2 λ} {\bar{g}}^{- n}$ at $λ = - n - α$ where α is the smallest root in its class modulo $Z$ of the reduced Bernstein–Sato polynomial of g. This rather ‘unexpected’ result is a consequence of the fact that the self-duality of the Brieskorn $(a, b)$ -module $E_{g}$ associated to g exchanges the biggest simple pole sub- $(a, b)$ -module of $E_{g}$ with the saturation of $E_{g}$ by $b^{−1} a$ .

Reçu le : 2006-08-30
Accepté le : 2006-09-26
Publié le : 2006-11-20

DOI : 10.1016/j.crma.2006.10.001

Affiliations des auteurs :

Daniel Barlet ¹

¹ Université Henri-Poincaré (Nancy I) et Institut universitaire de France, Institut E.Cartan UHP/CNRS/INRIA, UMR 7502, faculté des sciences et techniques, B.P. 239 54506 Vandoeuvre-les-Nancy cedex, France

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Daniel Barlet. On the Brieskorn $ (a,b)$-module of an isolated hypersurface singularity. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 343 (2006) no. 11-12, pp. 747-749. doi : 10.1016/j.crma.2006.10.001. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2006.10.001/

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