Comptes Rendus
no. 8
Analyse mathématique/Probabilités
Sur le caractère borné de la cellule de Crofton des mosaïques de géodésiques dans le plan hyperbolique

Présenté par : Jean-Pierre Kahane

Sylvain Porret-Blanc1
1 Unité de mathématiques pures et appliquées, École normale supérieure de Lyon, CNRS UMR 5669, 46, allée d'Italie, 69364 Lyon cedex 07, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 344 (2007) no. 8, pp. 477-481.

Soit C0(λ) la cellule de Crofton associée à un processus poissonnien stationnaire de géodésiques du plan hyperbolique d'intensité λ. En étudiant le caractère borné de la cellule de Crofton sous la forme d'un problème de recouvrement du cercle par des arcs aléatoires, nous trouvons que la condition nécessaire et suffisante pour que C0(λ) soit bornée presque-sûrement est que λ⩾12. Nous obtenons de plus d'après des résultats dûs à Stevens, Siegel et Holst et déjà utilisés par Calka dans la cas euclidien, la loi du plus petit rayon du disque centré en 0 et contenant C0(λ) (pour λ>12).

Denote by C0(λ) the Crofton cell of an homogeneous Poisson process of geodesics in the hyperbolic plane with intensity λ>0. In this Note, we derive from covering properties of the circle by random arcs, that the Crofton cell C0(λ) is almost-surely bounded if and only if λ⩾12. Moreover, some results due to Stevens, Siegel and Holst, which have been already used by Calka in the Euclidean case, allow us to estimate the law of the radius of the smallest disc centered at origin containing C0(λ).

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DOI : 10.1016/j.crma.2007.02.018
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