Sur le caractère borné de la cellule de Crofton des mosaïques de géodésiques dans le plan hyperbolique

Sylvain Porret-Blanc

doi:10.1016/j.crma.2007.02.018

Analyse mathématique/Probabilités

Sur le caractère borné de la cellule de Crofton des mosaïques de géodésiques dans le plan hyperbolique
[Boundedness of Crofton's cell for the homogeneous Poisson process of geodesics in the hyperbolic plane]

Presented by: Jean-Pierre Kahane

Sylvain Porret-Blanc ¹

¹ Unité de mathématiques pures et appliquées, École normale supérieure de Lyon, CNRS UMR 5669, 46, allée d'Italie, 69364 Lyon cedex 07, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 344 (2007) no. 8, pp. 477-481.

Abstract
Résumé

Denote by $C_{0} (λ)$ the Crofton cell of an homogeneous Poisson process of geodesics in the hyperbolic plane with intensity $λ > 0$ . In this Note, we derive from covering properties of the circle by random arcs, that the Crofton cell $C_{0} (λ)$ is almost-surely bounded if and only if $λ ⩾ \frac{1}{2}$ . Moreover, some results due to Stevens, Siegel and Holst, which have been already used by Calka in the Euclidean case, allow us to estimate the law of the radius of the smallest disc centered at origin containing $C_{0} (λ)$ .

Soit $C_{0} (λ)$ la cellule de Crofton associée à un processus poissonnien stationnaire de géodésiques du plan hyperbolique d'intensité λ. En étudiant le caractère borné de la cellule de Crofton sous la forme d'un problème de recouvrement du cercle par des arcs aléatoires, nous trouvons que la condition nécessaire et suffisante pour que $C_{0} (λ)$ soit bornée presque-sûrement est que $λ ⩾ \frac{1}{2}$ . Nous obtenons de plus d'après des résultats dûs à Stevens, Siegel et Holst et déjà utilisés par Calka dans la cas euclidien, la loi du plus petit rayon du disque centré en 0 et contenant $C_{0} (λ)$ (pour $λ > \frac{1}{2}$ ).

Received: 2007-02-13
Accepted: 2007-02-20
Published online: 2007-04-03

DOI: 10.1016/j.crma.2007.02.018

Author's affiliations:

Sylvain Porret-Blanc ¹

¹ Unité de mathématiques pures et appliquées, École normale supérieure de Lyon, CNRS UMR 5669, 46, allée d'Italie, 69364 Lyon cedex 07, France

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Sylvain Porret-Blanc. Sur le caractère borné de la cellule de Crofton des mosaïques de géodésiques dans le plan hyperbolique. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 344 (2007) no. 8, pp. 477-481. doi : 10.1016/j.crma.2007.02.018. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2007.02.018/

References
Cited by

[1] P. Calka The distributions of the smallest disks containing the Poisson–Voronoi typical cell and the Crofton cell in the plane, Adv. Appl. Probab., Volume 34 (2002), pp. 702-717

[2] A. Goldman Le spectre de certaines mosaïques poissoniennes du plan et l'enveloppe convexe du pont brownien, Probab. Theory Related Fields, Volume 105 (1996), pp. 57-83

[3] F.W. Huffer; L.A. Shepp On the probability of covering the circle by random arcs, J. Appl. Probab., Volume 24 (1987), pp. 422-429

[4] J.P. Kahane Recouvrements aléatoires et théorie du potentiel, Colloq. Math., Volume 60/61 (1990), pp. 387-411

[5] R.E. Miles Random polygons determined by random lines in a plane, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, Volume 52 (1964), pp. 901-907

[6] R.E. Miles Random polygons determined by random lines in a plane. II, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, Volume 52 (1964), pp. 1157-1160

[7] R.E. Miles The various aggregates of random polygons determined by random lines in a plane, Adv. in Math., Volume 10 (1973), pp. 256-290

[8] K. Paroux Quelques théorèmes centraux limites pour les processus Poissoniens de droites dans le plan, Adv. Appl. Probab., Volume 30 (1998), pp. 640-656

[9] L.A. Santaló Average values for polygons formed by random lines in the hyperbolic plane, Univ. Nac. Tucumán Rev. Ser. A, Volume 16 (1966), pp. 29-43

[10] L.A. Santaló; I. Yañez Averages for polygons formed by random lines in Euclidean and hyperbolic planes, J. Appl. Probab., Volume 9 (1972), pp. 140-157

[11] L.A. Shepp Covering the circle with random arcs, Israel J. Math., Volume 11 (1972), pp. 328-345

[12] L.A. Shepp Covering the line with random intervals, Z. Wahrsch. Verw. Gebiete, Volume 23 (1972), pp. 163-170

[13] A.F. Siegel; L. Holst Covering the circle with random arcs of random sizes, J. Appl. Probab., Volume 19 (1982), pp. 373-381

[14] W.L. Stevens Solution to a geometrical problem in probability, Ann. Eugenics, Volume 9 (1939), pp. 315-320

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