Sur le caractère borné de la cellule de Crofton des mosaïques de géodésiques dans le plan hyperbolique

Sylvain Porret-Blanc

doi:10.1016/j.crma.2007.02.018

Analyse mathématique/Probabilités

Sur le caractère borné de la cellule de Crofton des mosaïques de géodésiques dans le plan hyperbolique

Présenté par : Jean-Pierre Kahane

Sylvain Porret-Blanc ¹

¹ Unité de mathématiques pures et appliquées, École normale supérieure de Lyon, CNRS UMR 5669, 46, allée d'Italie, 69364 Lyon cedex 07, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 344 (2007) no. 8, pp. 477-481.

Résumé
Abstract

Soit $C_{0} (λ)$ la cellule de Crofton associée à un processus poissonnien stationnaire de géodésiques du plan hyperbolique d'intensité λ. En étudiant le caractère borné de la cellule de Crofton sous la forme d'un problème de recouvrement du cercle par des arcs aléatoires, nous trouvons que la condition nécessaire et suffisante pour que $C_{0} (λ)$ soit bornée presque-sûrement est que $λ ⩾ \frac{1}{2}$ . Nous obtenons de plus d'après des résultats dûs à Stevens, Siegel et Holst et déjà utilisés par Calka dans la cas euclidien, la loi du plus petit rayon du disque centré en 0 et contenant $C_{0} (λ)$ (pour $λ > \frac{1}{2}$ ).

Denote by $C_{0} (λ)$ the Crofton cell of an homogeneous Poisson process of geodesics in the hyperbolic plane with intensity $λ > 0$ . In this Note, we derive from covering properties of the circle by random arcs, that the Crofton cell $C_{0} (λ)$ is almost-surely bounded if and only if $λ ⩾ \frac{1}{2}$ . Moreover, some results due to Stevens, Siegel and Holst, which have been already used by Calka in the Euclidean case, allow us to estimate the law of the radius of the smallest disc centered at origin containing $C_{0} (λ)$ .

Reçu le : 2007-02-13
Accepté le : 2007-02-20
Publié le : 2007-04-03

DOI : 10.1016/j.crma.2007.02.018

Affiliations des auteurs :

Sylvain Porret-Blanc ¹

¹ Unité de mathématiques pures et appliquées, École normale supérieure de Lyon, CNRS UMR 5669, 46, allée d'Italie, 69364 Lyon cedex 07, France

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Sylvain Porret-Blanc. Sur le caractère borné de la cellule de Crofton des mosaïques de géodésiques dans le plan hyperbolique. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 344 (2007) no. 8, pp. 477-481. doi : 10.1016/j.crma.2007.02.018. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2007.02.018/

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