Brauer obstruction for a universal vector bundle

Vikraman Balaji; Indranil Biswas; Ofer Gabber; Donihakkalu S. Nagaraj

doi:10.1016/j.crma.2007.07.011

Algebraic Geometry

Brauer obstruction for a universal vector bundle
[Obstruction de Brauer pour un fibré vectoriel universel]

Présenté par : Gérard Laumon

Vikraman Balaji ¹ ; Indranil Biswas ² ; Ofer Gabber ³ ; Donihakkalu S. Nagaraj ⁴

¹ Chennai Mathematical Institute, Plot H1, SIPCOT IT Park, Padur, PO Siruseri 603103, India
² School of Mathematics, Tata Institute of Fundamental Research, Homi Bhabha Road, Mumbai 400005, India
³ Institut des Hautes Études Scientifiques, Le Bois-Marie, 35, route de Chartres, 91440 Bures-sur-Yvette, France
⁴ The Institute of Mathematical Sciences, CIT Campus, Taramani, Chennai 600113, India

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 345 (2007) no. 5, pp. 265-268.

Résumé
Abstract

Soit X une courbe projective lisse de genre $g (X) > 2$ et soit $M$ l'espace de modules paramétrant les fibrés vectoriels E stables sur X de rang r et ayant déterminant $⋀^{r} E = ξ$ , où ξ est un fibré en droites donné. Nous montrons que le groupe de Brauer $Br (M)$ est égale à $Z / n Z$ , où $n = pgcd (r, \deg ξ)$ . De plus $Br (M)$ est engendré par la classe du fibré projectif sur $M$ de dimension relative $r - 1$ , obtenu par restriction du fibré projectif universel sur $X \times M$ en un point de X.

Let X be a smooth complex projective curve with $genus (X) > 2$ , and let $M$ be the moduli space parametrizing isomorphism classes of stable vector bundles E over X of rank r with $⋀^{r} E = ξ$ , where ξ is a fixed line bundle. We prove that the Brauer group $Br (M)$ is $Z / n Z$ , where $n = g.c.d. (r, degree (ξ))$ . Moreover, $Br (M)$ is generated by the class of the projective bundle over $M$ of relative dimension $r - 1$ obtained by restricting the universal projective bundle over $X \times M$ to a point of X.

Reçu le : 2006-08-17
Accepté le : 2007-07-17
Publié le : 2007-08-21

DOI : 10.1016/j.crma.2007.07.011

Affiliations des auteurs :

Vikraman Balaji ¹ ; Indranil Biswas ² ; Ofer Gabber ³ ; Donihakkalu S. Nagaraj ⁴

@article{CRMATH_2007__345_5_265_0,
     author = {Vikraman Balaji and Indranil Biswas and Ofer Gabber and Donihakkalu S. Nagaraj},
     title = {Brauer obstruction for a universal vector bundle},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {265--268},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {345},
     number = {5},
     year = {2007},
     doi = {10.1016/j.crma.2007.07.011},
     language = {en},
}

TY  - JOUR
AU  - Vikraman Balaji
AU  - Indranil Biswas
AU  - Ofer Gabber
AU  - Donihakkalu S. Nagaraj
TI  - Brauer obstruction for a universal vector bundle
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2007
SP  - 265
EP  - 268
VL  - 345
IS  - 5
PB  - Elsevier
DO  - 10.1016/j.crma.2007.07.011
LA  - en
ID  - CRMATH_2007__345_5_265_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Vikraman Balaji
%A Indranil Biswas
%A Ofer Gabber
%A Donihakkalu S. Nagaraj
%T Brauer obstruction for a universal vector bundle
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2007
%P 265-268
%V 345
%N 5
%I Elsevier
%R 10.1016/j.crma.2007.07.011
%G en
%F CRMATH_2007__345_5_265_0

Vikraman Balaji; Indranil Biswas; Ofer Gabber; Donihakkalu S. Nagaraj. Brauer obstruction for a universal vector bundle. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 345 (2007) no. 5, pp. 265-268. doi : 10.1016/j.crma.2007.07.011. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2007.07.011/

Bibliographie
Cité par

[1] M. Artin Brauer–Severi varieties, Brauer Groups in Ring Theory and Algebraic Geometry, Lecture Notes in Math., vol. 917, Springer, Berlin–New York, 1982, pp. 194-210

[2] V. Balaji Principal bundles on projective varieties and the Donaldson–Uhlenbeck compactification, J. Differential Geom., Volume 76 (2007), pp. 351-398

[3] I. Biswas; A.J. Parameswaran; S. Subramanian Monodromy group for a strongly semistable principal bundle over a curve, Duke Math. J., Volume 132 (2006), pp. 1-48

[4] J.-M. Drezet; M.S. Narasimhan Groupe de Picard des variétés de modules de fibrés semi-stables sur les courbes algébriques, Invent. Math., Volume 97 (1989), pp. 53-94

[5] O. Gabber Some theorems on Azumaya algebras, The Brauer Group, Lecture Notes in Math., vol. 844, Springer, Berlin–New York, 1981, pp. 129-209

[6] J. Giraud Cohomologie non abélienne, Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Band 179, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1971

[7] A. Grothendieck Le groupe de Brauer. III. Exemples et compléments, Dix Exposés sur la Cohomologie des Schémas, North-Holland, Amsterdam, 1968, pp. 88-188

[8] M.S. Narasimhan; S. Ramanan Vector bundles on curves, Int. Colloq., T.I.F.R., Bombay, 1968, Oxford Univ. Press, London (1969), pp. 335-346

[9] A. Ramanathan Moduli for principal bundles over algebraic curves: I, Proc. Ind. Acad. Sci. Math. Sci., Volume 106 (1996), pp. 301-328

Cité par Sources :

Commentaires - Politique

Ces articles pourraient vous intéresser

Poincaré families and automorphisms of principal bundles on a curve

Indranil Biswas; Norbert Hoffmann

C. R. Math (2009)