Effet cosinus sur un modèle visqueux de type Saint-Venant et ses équations limites de type quasi-géostrophique et lacs

Carine Lucas

doi:10.1016/j.crma.2007.07.013

Équations aux dérivées partielles/Problèmes mathématiques de la mécanique

Effet cosinus sur un modèle visqueux de type Saint-Venant et ses équations limites de type quasi-géostrophique et lacs
[Cosine effect on a viscous Shallow Water model and its quasigeostrophic and lake equations limits]

Presented by: Pierre-Louis Lions

Carine Lucas ¹

¹ Université Joseph-Fourier, INRIA, LJK UMR5224, 51, rue des mathématiques, B.P. 53, 38041 Grenoble, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 345 (2007) no. 6, pp. 313-318.

Abstract
Résumé

To get a viscous Shallow Water type model with Coriolis force from free surface Navier–Stokes equations, the required order of approximation depends on the relative order between the Reynolds number and the aspect ratio. Even if the methodology is classical in the field of asymptotic analysis (ansatz), we will prove that new terms depending on the latitude cosine have been omitted in recent papers and must be taken into account for some applications in geophysics. However, these terms do not appear when we study rotating thin films. We will also give the quasi-geostrophic and the lake limits corresponding to the equations with cosine effect. All these models are well posed (existence of global weak solutions) and we show that the cosine terms affect equatorial waves.

L'ordre d'approximation nécessaire à l'obtention d'un modèle visqueux de type Saint-Venant avec force de Coriolis, à partir des équations de Navier–Stokes à surface libre, dépend du lien entre le nombre de Reynolds et le rapport d'aspect. Avec une méthodologie certes classique dans le domaine de l'analyse asymptotique (développement en série), nous montrerons que de nouveaux termes dépendant du cosinus de la latitude ont été oubliés dans des papiers récents et doivent être pris en compte pour certaines applications en géophysique. En revanche, lors de l'étude des films minces en rotation, ces termes n'apparaissent pas. Nous donnerons également les limites de type quasi-géostrophique et lacs correspondant aux équations avec effet cosinus. Tous ces modèles sont bien posés (existence de solutions faibles globales) et nous montrons que ces termes en cosinus modifient les ondes équatoriales.

Received: 2007-06-11
Accepted: 2007-07-22
Published online: 2007-08-30

DOI: 10.1016/j.crma.2007.07.013

Author's affiliations:

Carine Lucas ¹

¹ Université Joseph-Fourier, INRIA, LJK UMR5224, 51, rue des mathématiques, B.P. 53, 38041 Grenoble, France

@article{CRMATH_2007__345_6_313_0,
     author = {Carine Lucas},
     title = {Effet cosinus sur un mod\`ele visqueux de type {Saint-Venant} et ses \'equations limites de type quasi-g\'eostrophique et lacs},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {313--318},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {345},
     number = {6},
     year = {2007},
     doi = {10.1016/j.crma.2007.07.013},
     language = {fr},
}

TY  - JOUR
AU  - Carine Lucas
TI  - Effet cosinus sur un modèle visqueux de type Saint-Venant et ses équations limites de type quasi-géostrophique et lacs
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2007
SP  - 313
EP  - 318
VL  - 345
IS  - 6
PB  - Elsevier
DO  - 10.1016/j.crma.2007.07.013
LA  - fr
ID  - CRMATH_2007__345_6_313_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Carine Lucas
%T Effet cosinus sur un modèle visqueux de type Saint-Venant et ses équations limites de type quasi-géostrophique et lacs
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2007
%P 313-318
%V 345
%N 6
%I Elsevier
%R 10.1016/j.crma.2007.07.013
%G fr
%F CRMATH_2007__345_6_313_0

Carine Lucas. Effet cosinus sur un modèle visqueux de type Saint-Venant et ses équations limites de type quasi-géostrophique et lacs. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 345 (2007) no. 6, pp. 313-318. doi : 10.1016/j.crma.2007.07.013. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2007.07.013/

References
Cited by

[1] D. Bresch; B. Desjardins Existence of global weak solutions for a 2D viscous shallow water equations and convergence to the quasi-geostrophique model, Comm. Math. Phys., Volume 238 (2003) no. 1–2, pp. 211-223

[2] D. Bresch; M. Gisclon; C.K. Lin An example of low Mach (Froude) number effects for compressible flows with nonconstant density (height) limit, M2AN, Volume 39 (2005) no. 3, pp. 477-486

[3] D. Bresch; G. Métivier Global existence and uniqueness for the lake equations with vanishing topography: elliptic estimates for degenerate equations, Nonlinearity, Volume 19 (2006) no. 3, pp. 591-610

[4] I. Gallagher, L. Saint-Raymond, Mathematical study of the betaplane model: Equatorial waves and convergence results, Mémoires de la Société Mathématique de France (2007), in press

[5] J.-F. Gerbeau; B. Perthame Derivation of viscous Saint-Venant system for laminar shallow water: Numerical validation, Discrete and Continuous Dynamical Systems, Série B, Volume 1 (2001) no. 1, pp. 89-102

[6] C.D. Levermore; M. Sammartino A shallow water model with eddy viscosity for basins with varying bottom topography, Nonlinearity, Volume 14 (2001), pp. 1493-1515

[7] P.-L. Lions Mathematical Topics in Fluid Mechanics, vol. 2, Compressible Models, Clarendon Press, Oxford, 1998

[8] C. Lucas, Cosine effect on Shallow Water equations and mathematical properties (2007), en préparation

[9] C. Lucas, A. Rousseau, New developments and cosine effect in the viscous shallow water and quasi-geostrophic equations (2007), en préparation

[10] F. Marche Derivation of a new two-dimensional viscous shallow water model with varying topography, bottom friction and capillary effects, Eur. J. Mech. B Fluids, Volume 26 (2007), pp. 49-63

[11] J. Pedlosky Geophysical Fluid Dynamics, Springer-Verlag, New York, 1979

[12] A. Oron; S.H. Davis; S.G. Bankoff Long-scale evolution of thin liquid films, Rev. Mod. Phys., Volume 69 (1997) no. 3, pp. 931-981

[13] J.-P. Vila, Thin film models and Shallow Water equations (2007), Communication privée

Cited by Sources:

Comments - Policy