Unconditional well-posedness for subcritical NLS in $ {H}^{s}$

Keith M. Rogers

doi:10.1016/j.crma.2007.09.003

Partial Differential Equations

Unconditional well-posedness for subcritical NLS in

H^{s}

[Unicité inconditionnelle pour l'équation de Schrödinger non-linéaire sous-critique dans

H^{s}

]

Présenté par : Jean Bourgain

Keith M. Rogers ¹

¹ Departamento de Matemáticas, Universidad Autónoma de Madrid, 28049 Madrid, Spain

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 345 (2007) no. 7, pp. 395-398.

Résumé
Abstract

On considère l'équation de Schrödinger linéaire sous-critique $i \partial_{t} u + Δ u = {| u |}^{α} u$ , sur $R^{n}$ , $n ⩾ 3$ , à donnée initiale $u_{0}$ dans $H^{s} (R^{n})$ . Si $s ⩾ 1$ , Kato a démontré que si il existe une solution maximale, elle est unique dans $C ([0, T_{\max}), H^{s})$ . Les seuls résultats d'unicité connus auparavant étaient dans des sous-espaces stricts de cet espace. L'existence d'une solution étant connue pour $s \in [0, 1]$ , l'équation de Schrödinger sous-critique est localement bien posée dans $H^{1}$ sans condition supplémentaire pour l'unicité. Dans cette Note, nous généralisons le résultat d'unicité de Kato, montrant que l'équation est bien posée avec unicité inconditionnelle dans tous les espaces $H^{s}$ , $s \in [\frac{n}{2 (n - 1)}, 1]$ .

Let $n ⩾ 3$ and consider the subcritical nonlinear Schrödinger equation, $i \partial_{t} u + Δ u = {| u |}^{α} u$ , with initial data $u_{0} \in H^{s} (R^{n})$ . When $s ⩾ 1$ , Kato proved that if a maximal solution exists, then it is unique in $C ([0, T_{\max}), H^{s})$ . Previously, uniqueness had only been proven in strictly smaller subspaces. The existence of a solution is assured when $s \in [0, 1]$ , so that the subcritical nonlinear Schrödinger equation is unconditionally locally well-posed in $H^{1}$ . We extend the uniqueness result so that the subcritical nonlinear Schrödinger equation is unconditionally locally well-posed in $H^{s}$ when $s \in [\frac{n}{2 (n - 1)}, 1]$ .

Reçu le : 2007-06-27
Accepté le : 2007-09-12
Publié le : 2007-10-01

DOI : 10.1016/j.crma.2007.09.003

Affiliations des auteurs :

Keith M. Rogers ¹

¹ Departamento de Matemáticas, Universidad Autónoma de Madrid, 28049 Madrid, Spain

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Keith M. Rogers. Unconditional well-posedness for subcritical NLS in $ {H}^{s}$. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 345 (2007) no. 7, pp. 395-398. doi : 10.1016/j.crma.2007.09.003. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2007.09.003/

Bibliographie
Cité par

[1] T. Cazenave; F.B. Weissler The Cauchy problem for the nonlinear Schrödinger equation in $H^{1}$ , Manuscripta Math., Volume 61 (1988) no. 4, pp. 477-494

[2] T. Cazenave; F.B. Weissler The Cauchy problem for the critical nonlinear Schrödinger equation in $H^{s}$ , Nonlinear Anal., Volume 14 (1990) no. 10, pp. 807-836

[3] T. Cazenave; F.B. Weissler Rapidly decaying solutions of the nonlinear Schrödinger equation, Comm. Math. Phys., Volume 147 (1992) no. 1, pp. 75-100

[4] G. Furioli; F. Planchon; E. Terraneo Unconditional well-posedness for semilinear Schrödinger and wave equations in $H^{s}$ , Harmonic Analysis at Mount Holyoke, Contemp. Math., vol. 320, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2003, pp. 147-156

[5] G. Furioli; E. Terraneo Besov spaces and unconditional well-posedness for the nonlinear Schrödinger equation in ${\dot{H}}^{s} (R^{n})$ , Commun. Contemp. Math., Volume 5 (2003) no. 3, pp. 349-367

[6] J. Ginibre; G. Velo The global Cauchy problem for the nonlinear Schrödinger equation revisited, Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire, Volume 2 (1985) no. 4, pp. 309-327

[7] T. Kato On nonlinear Schrödinger equations. II. $H^{s}$ -solutions and unconditional well-posedness, J. Anal. Math., Volume 67 (1995), pp. 281-306

[8] M. Keel; T. Tao Endpoint Strichartz estimates, Amer. J. Math., Volume 120 (1998) no. 5, pp. 955-980

[9] R.S. Strichartz Restrictions of Fourier transforms to quadratic surfaces and decay of solutions of wave equations, Duke Math. J., Volume 44 (1977) no. 3, pp. 705-714

[10] M.C. Vilela Inhomogeneous Strichartz estimates for the Schrödinger equation, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 359 (2007) no. 5, pp. 2123-2136 (electronic)

[11] K. Yajima Existence of solutions for Schrödinger evolution equations, Comm. Math. Phys., Volume 110 (1987) no. 3, pp. 415-426

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