No characterization of generators in $ {\ell }^{p}$ $ (1<p<2)$ by zero set of Fourier transform

Nir Lev; Alexander Olevskii

doi:10.1016/j.crma.2008.04.017

Harmonic Analysis/Mathematical Analysis

No characterization of generators in

ℓ^{p}

(1 < p < 2)

by zero set of Fourier transform
[Les générateurs de

ℓ^{p}

(1 < p < 2)

ne peuvent pas être caractérisés par une propriété de l'ensemble des zéros de leur transformées de Fourier]

Présenté par : Jean-Pierre Kahane

Nir Lev ¹ ; Alexander Olevskii ¹

¹ School of Mathematical sciences, Tel-Aviv University, Tel-Aviv 69978, Israel

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 11-12, pp. 645-648.

Résumé
Abstract

Étant donné $1 < p < 2$ nous construisons deux fonctions continues sur le cercle, f et g, telles que :

(i) Elles ont le même ensemble de zéros ;

(ii) Leurs transformées de Fourier appartiennent à $ℓ^{p} (Z)$ ;

(iii) Les translatées de la transformée de Fourier de g engendrent $ℓ^{p}$ , mais non celles de la transformées de Fourier de f.

Un résultat analogue est valable pour $L^{p} (R)$ . Cela contraste avec les cas $p = 1$ ou 2, élucidés par Wiener.

Given $1 < p < 2$ we construct two continuous functions f and g on the circle, with the following properties:

(i) They have the same set of zeros;

(ii) The Fourier transforms $\hat{f}$ and $\hat{g}$ both belong to $ℓ^{p} (Z)$ ;

(iii) The translates of $\hat{g}$ span the whole $ℓ^{p}$ , but those of $\hat{f}$ do not.

A similar result is true for $L^{p} (R)$ . This should be contrasted with the Wiener theorems related to $p = 1, 2$ .

Reçu le : 2008-04-01
Accepté le : 2008-04-23
Publié le : 2008-05-22

DOI : 10.1016/j.crma.2008.04.017

Affiliations des auteurs :

Nir Lev ¹ ; Alexander Olevskii ¹

¹ School of Mathematical sciences, Tel-Aviv University, Tel-Aviv 69978, Israel

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Nir Lev; Alexander Olevskii. No characterization of generators in $ {\ell }^{p}$ $ (1

Bibliographie
Cité par

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