Comptes Rendus
Harmonic Analysis/Mathematical Analysis
No characterization of generators in p (1<p<2) by zero set of Fourier transform
[Les générateurs de p (1<p<2) ne peuvent pas être caractérisés par une propriété de l'ensemble des zéros de leur transformées de Fourier]
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 11-12, pp. 645-648.

Étant donné 1<p<2 nous construisons deux fonctions continues sur le cercle, f et g, telles que :

(i) Elles ont le même ensemble de zéros ;

(ii) Leurs transformées de Fourier appartiennent à p(Z) ;

(iii) Les translatées de la transformée de Fourier de g engendrent p, mais non celles de la transformées de Fourier de f.

Un résultat analogue est valable pour Lp(R). Cela contraste avec les cas p=1 ou 2, élucidés par Wiener.

Given 1<p<2 we construct two continuous functions f and g on the circle, with the following properties:

(i) They have the same set of zeros;

(ii) The Fourier transforms fˆ and gˆ both belong to p(Z);

(iii) The translates of gˆ span the whole p, but those of fˆ do not.

A similar result is true for Lp(R). This should be contrasted with the Wiener theorems related to p=1,2.

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DOI : 10.1016/j.crma.2008.04.017

Nir Lev 1 ; Alexander Olevskii 1

1 School of Mathematical sciences, Tel-Aviv University, Tel-Aviv 69978, Israel
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