On the group of symplectic homeomorphisms

Augustin Banyaga

doi:10.1016/j.crma.2008.06.011

Differential Geometry

On the group of symplectic homeomorphisms
[Sur le groupe des homéomorphismes symplectiques]

Présenté par : Charles-Michel Marle

Augustin Banyaga ¹

¹ Department of Mathematics, The Pennsylvania State University, University Park, PA 16802, USA

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 15-16, pp. 867-872.

Résumé
Abstract

Soit $(M, ω)$ une variété symplectique fermée. On définit à la Hofer une métrique d sur la composante connexe de l'identité dans le groupe $Symp (M, ω)$ de tous les difféomorphismes symplectiques. Contrairement à la métrique de Hofer, la métrique d n'est pas bi-invariante. Nous montrons que la topologie métrique τ définie par d est naturelle (i.e. indépendante des choix faits pour la définir). Nous définissons la topologie symplectique comme une combinaison de la topologie τ et de la $C^{0}$ -topologie. Nous l'utilisons pour construire un sous-groupe $SSympeo (M, ω)$ du groupe $Sympeo (M, ω)$ des homéomorphismes symplectiques, qui contient le groupe $Hameo (M, ω)$ des homéomorphismes hamiltoniens (introduits par Oh et Muller). Si M est simplement connexe, $SSympeo (M, ω)$ coïncide avec $Hameo (M, ω)$ . De plus, son sous-groupe des commutateurs $[SSympeo (M, ω), SSympeo (M, ω)]$ est contenu dans $Hameo (M, ω)$ .

Let $(M, ω)$ be a closed symplectic manifold. We define a Hofer-like metric d on the identity component $Sym {(M, ω)}_{0}$ in the group $Symp (M, ω)$ of all symplectic diffeomorphisms of $(M, ω)$ . Unlike the Hofer metric on the group $Ham (M, ω)$ of Hamiltonian diffeomorphisms, the metric d is not bi-invariant. We show that the metric topology τ defined by d is natural (i.e. independent of the choice involved in its definition). We define the symplectic topology as a blend of the Hofer-like topology τ and the $C^{0}$ -topology. We use it to construct a subgroup $SSympeo (M, ω)$ of the group $Sympeo (M, ω)$ of all symplectic homeomorphisms, containing the group $Hameo (M, ω)$ of Hamiltonian homeomorphisms (introduced by Oh and Muller). If M is simply connected $SSympeo (M, ω)$ coincides with $Hameo (M, ω)$ . Moreover its commutator subgroup $[SSympeo (M, ω), SSympeo (M, ω)]$ is contained in $Hameo (M, ω)$ .

Reçu le : 2008-03-20
Accepté le : 2008-06-28
Publié le : 2008-08-01

DOI : 10.1016/j.crma.2008.06.011

Affiliations des auteurs :

Augustin Banyaga ¹

¹ Department of Mathematics, The Pennsylvania State University, University Park, PA 16802, USA

@article{CRMATH_2008__346_15-16_867_0,
     author = {Augustin Banyaga},
     title = {On the group of symplectic homeomorphisms},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {867--872},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {346},
     number = {15-16},
     year = {2008},
     doi = {10.1016/j.crma.2008.06.011},
     language = {en},
}

TY  - JOUR
AU  - Augustin Banyaga
TI  - On the group of symplectic homeomorphisms
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2008
SP  - 867
EP  - 872
VL  - 346
IS  - 15-16
PB  - Elsevier
DO  - 10.1016/j.crma.2008.06.011
LA  - en
ID  - CRMATH_2008__346_15-16_867_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Augustin Banyaga
%T On the group of symplectic homeomorphisms
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2008
%P 867-872
%V 346
%N 15-16
%I Elsevier
%R 10.1016/j.crma.2008.06.011
%G en
%F CRMATH_2008__346_15-16_867_0

Augustin Banyaga. On the group of symplectic homeomorphisms. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 15-16, pp. 867-872. doi : 10.1016/j.crma.2008.06.011. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2008.06.011/

Bibliographie
Cité par

[1] A. Banyaga Sur la structure du groupe des difféomorphismes qui préservent une forme symplectique, Comment. Math. Helv., Volume 53 (1978), pp. 174-227

[2] A. Banyaga, A Hofer-like metric on the group of symplectic diffeomorphisms, 2008, preprint

[3] A. Banyaga, On the group of strong symplectic homeomorphisms, 2008, preprint

[4] H. Hofer On the topological properties of symplectic maps, Proc. Royal Soc. Edinburgh A, Volume 115 (1990), pp. 25-38

[5] H. Hofer; E. Zehnder Symplectic Invariants and Hamiltonian Dynamics, Birkhäuser Advanced Texts, Birkhäuser Verlag, 1994

[6] F. Lalonde; D. McDuff The geometry of the symplectic energy, Ann. of Math., Volume 141 (1995), pp. 349-371

[7] Y.-G. Oh; S. Muller The group of Hamiltonian homeomorphisms and $C^{0}$ -symplectic topology, J. Symp. Geom., Volume 5 (2007), pp. 167-220

[8] K. Ono Floer–Novikov cohomology and the flux conjecture, Geom. Funct. Anal., Volume 16 (2006) no. 5, pp. 981-1020

[9] F. Warner Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Scott, Foresman and Company, 1971

Cité par Sources :

Commentaires - Politique

Ces articles pourraient vous intéresser

Floer homology for almost Hamiltonian isotopies

Augustin Banyaga; Christopher Saunders

C. R. Math (2006)

On the bounded isometry conjecture

Andrés Pedroza

C. R. Math (2011)

Quasi-morphisme de Calabi sur les surfaces de genre supérieur

Pierre Py

C. R. Math (2005)