Nous énonçons dans cette Note un résultat quantitatif concernant le groupe des points rationnels d'une courbe elliptique qui sont définis sur certains corps de classes de Hilbert. Il s'agit d'établir une borne inférieure pour le rang. Nous présentons également une approche analytique qui se fonde sur l'estimation de sommes de coefficients d'une forme modulaire aux valeurs d'un polynôme quadratique. Cette estimée est une version non scindée d'un problème de convolution décalée.
We state a quantitative result concerning the group of rational points on an elliptic curve that are defined over certain Hilbert class fields. We provide a lower bound for the rank. We present also an analytic approach based on the proof of an estimate for sums of Fourier coefficients of a modular form along values taken by a quadratic polynomial. This estimate is a non-split version of the shifted convolution problem.
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Nicolas Templier. Minoration de rangs de courbes elliptiques. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 23-24, pp. 1225-1230. doi : 10.1016/j.crma.2008.10.016. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2008.10.016/
[1] Sums of Hecke eigenvalues over quadratic polynomials, 2008 Int. Math. Res. Notices (2008), IDrnn059, à paraître | arXiv
[2] Hyperbolic distribution problems and half-integral weight Maass forms, Invent. Math., Volume 92 (1988) no. 1, pp. 73-90
[3] Class group L-functions, Duke Math. J., Volume 79 (1995) no. 1, pp. 1-56
[4] A quadratic divisor problem, Invent. Math., Volume 115 (1994) no. 2, pp. 209-217
[5] Equidistribution of roots of a quadratic congruence to prime moduli, Ann. of Math., Volume 141 (1995) no. 2, pp. 423-441
[6] Heegner points and derivatives of L-series, II, Math. Ann., Volume 278 (1987), pp. 497-562
[7] Heegner points and derivatives of L-series, Invent. Math., Volume 84 (1986) no. 2, pp. 225-320
[8] The Radon Transform, Progress in Mathematics, vol. 5, Birkhäuser, Boston, MA, 1999
[9] On the number of divisors of a quadratic polynomial, Acta Math., Volume 110 (1963), pp. 97-114
[10] Analytic Number Theory, American Mathematical Society, Providence, RI, 2004
[11] K. Martin, D. Whitehouse, Central L-values and toric periods for GL(2), Int. Math. Res. Notices (2008), à paraître
[12] The subconvexity problem for Rankin–Selberg L-functions and equidistribution of Heegner points, Ann. of Math., Volume 160 (2004) no. 1, pp. 185-236
[13] Analytic number theory and families of automorphic L-functions, Automorphic Forms and Applications, IAS/Park City Math. Ser., vol. 12, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2007, pp. 181-295
[14] Heegner points and non-vanishing of Rankin/Selberg L-functions, Analytic Number Theory: A Tribute to Gauss and Dirichlet, Clay Math. Proc., vol. 7, 2007, pp. 169-184
[15] Equidistribution, L-functions and ergodic theory: on some problems of Yu. Linnik, International Congress of Mathematicians, vol. II, Eur. Math. Soc., Zürich, 2006, pp. 421-457
[16] Central values of Rankin L-series over real quadratic fields, Compositio Math., Volume 142 (2006) no. 4, pp. 811-866
[17] G. Ricotta, T. Vidick, Hauteur asymptotique des points de Heegner, Canad. J. Math., à paraître
[18] Helgason–Marchaud inversion formulas for Radon transforms, Proc. Amer. Math. Soc., Volume 130 (2002) no. 10, pp. 3017-3023
[19] Additive number theory and Maass forms, Lecture Notes in Math., vol. 1052, Springer, Berlin, 1984, pp. 286-309
[20] Über die Classenzahl quadratischer Zahlkörper, Acta Arith. (Ges. Abh.), Volume 1 (1935), pp. 83-86 (Reprinted, vol. I, 1966, pp. 406-409)
[21] Équirépartition des petits points, Invent. Math., Volume 127 (1997) no. 2, pp. 337-347
[22] N. Templier, Points spéciaux et valeurs spéciales de fonctions L, Thèse de doctorat, Montpellier, juin 2008
[23] N. Templier, A non-split sum of coefficients of modular forms, en préparation
[24] N. Templier, Minoration du rang des courbes elliptiques sur les corps de classes de Hilbert, en préparation
[25] Gross–Zagier formula for GL2, Asian J. Math., Volume 5 (2001) no. 2, pp. 183-290
Cité par Sources :
Commentaires - Politique
Minoration universelle de certaines intégrales quadratiques des fonctions automorphes
Laurent Clozel
C. R. Math (2022)