Global Cauchy problems for hyperbolic systems with characteristics admitting superlinear growth for $ |x|\to \infty $

Daniel Gourdin; Todor Gramchev

doi:10.1016/j.crma.2008.11.009

Partial Differential Equations

Global Cauchy problems for hyperbolic systems with characteristics admitting superlinear growth for

| x | \to \infty

[Problème de Cauchy global pour des systèmes hyperboliques á coefficients superlinéaire lorsque

| x | \to + \infty

]

Présenté par : Yvonne Choquet-Bruhat

Daniel Gourdin ¹ ; Todor Gramchev ²

¹ Département de mathématiques, Université de Paris 6, 175, rue Chevaleret, 75013 Paris, France
² Dipartimento di Matematica e Informatica, Università di Cagliari, Via Ospedale 72, 09124 Cagliari, Italy

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 347 (2009) no. 1-2, pp. 49-54.

Abstract (VO)
Résumé

We investigate the global well-posedness of the Cauchy problem for first order linear hyperbolic systems allowing superlinear growth of the characteristic roots for $| x | \to + \infty$ . We introduce hypotheses on the superlinear growth inspired by theorems of A. Wintner in 1945 for global solutions of ODEs and show global well-posedness of the Cauchy problem in two types of new weighted Sobolev spaces. We construct a change of the space variables of a global Liouville type which reduces to the case of bounded coefficients. As an outcome, we derive finite propagation speed and the existence of finite domains of dependence for hyperbolic systems of differential equations. We exhibit also instant blow-up of solutions near $t = 0$ and provide explicit examples proving that our estimates are sharp.

Nous étudions les problèmes de Cauchy bien posès pour les systèmes hyperboliques linéaires du 1er ordre avec des racines caractéristiques superlinéaires lorsque $| x | \to \infty$ . On introduit des hypothèses sur la croissance superlinéaire inspirée des théorèmes de A. Wintner en 1945 pour les solutions globales d'équations différentielles ordinaires et nous montrons que le résultat est acquis pour deux types d'espaces de Sobolev avec poids. Nous construisons une transformation du type de Liouville globale des variables d'espace qui réduit le problème au cas de coefficients bornés. En consequence nous montrons la propagation a vitesse finie et l'existence d'un domaine fini de dépendance. On montre le blow up des solutions près de $t = 0$ , avec des exemples explicites montrant que les estimations sont pointues.

Reçu le : 2008-02-02
Accepté le : 2008-10-29
Publié le : 2008-12-03

DOI : 10.1016/j.crma.2008.11.009

Affiliations des auteurs :

Daniel Gourdin ¹ ; Todor Gramchev ²

¹ Département de mathématiques, Université de Paris 6, 175, rue Chevaleret, 75013 Paris, France
² Dipartimento di Matematica e Informatica, Università di Cagliari, Via Ospedale 72, 09124 Cagliari, Italy

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Daniel Gourdin; Todor Gramchev. Global Cauchy problems for hyperbolic systems with characteristics admitting superlinear growth for $ |x|\to \infty $. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 347 (2009) no. 1-2, pp. 49-54. doi : 10.1016/j.crma.2008.11.009. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2008.11.009/

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